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1、3 1 2函数的单调性第1课时函数的单调性 1 函数单调性的定义设函数y f x 的定义域为D 且I D 如果对任意x1 x2 I 当x1 x2时 思考 函数单调性的定义中 能否去掉 任意 提示 不能 不能用特殊代替一般 2 函数的单调性与单调区间函数y f x 在区间I上是增函数或减函数 则函数在区间I上具有单调性 区间I叫函数的单调区间 分别称为单调递增区间或单调递减区间 思考 区间I一定是函数的定义域吗 提示 不一定 可能是定义域的一个子区间 单调性是局部概念 不是整体概念 素养小测 1 思维辨析 对的打 错的打 1 函数f x 2x2 若f 1 f 2 则函数在R上是增函数 2 函数f
2、 x 在 0 0 上是减函数 3 函数f x 在定义域或其某一个子区间上一定有严格的单调性 提示 1 函数f x 2x2在 0 上是增函数 2 函数f x 的单调递减区间为 0 0 不能用 并 表示 3 常数函数不具有严格的单调性 2 如图是函数y f x 的图像 则函数f x 的单调递减区间是 A 1 0 B 1 C 1 0 1 D 1 0 1 解析 选D 若函数单调递减 则对应图像为下降的 由图像知 函数在 1 0 1 上分别下降 则对应的单调递减区间为 1 0 1 3 若y f x 是定义在 上是减函数 且f x f 2x 2 则x的取值范围为 解析 因为y f x 是定义在 上是减函数
3、 所以由f x 2x 2 所以x 2 所以x的取值范围为 2 答案 2 类型一利用图像求函数的单调区间 典例 1 如图是定义在区间 2 2 的函数y f x 则f x 的单调递减区间是 2 函数f x x x 2x的单调递增区间为 思维 引 1 图像从左到右下降的区间为单调递减区间 2 分情况去掉绝对值 作出图像确定单调递增区间 解析 1 由图像可以看出f x 的单调递减区间是 1 1 答案 1 1 2 x 0时 f x x2 2x 对称轴为x 1 开口向上 在 1 单调递增 x 0时f x x2 2x 对称轴x 1 开口向下 在 1 单调递增 所以函数的单调递增区间是 1 和 1 答案 1
4、和 1 内化 悟 怎样求函数的单调区间 提示 作出函数的图像 利用图像的上升 下降确定单调区间 类题 通 图像法求函数单调区间的步骤 作图 作出函数的图像 结论 上升图像对应单调递增区间 下降图像对应单调递减区间 习练 破 函数f x x 2 的单调递增区间是 解析 f x x 2 所以x 2时 f x x 2单调递增 所以f x 的单调递增区间为 2 答案 2 加练 固 画出函数y x x 2 的图像 并指出函数的单调区间 解析 y x x 2 函数的图像如图所示 由函数的图像知 函数的单调递增区间为 0 和 1 单调递减区间为 0 1 类型二利用定义证明函数的单调性 典例 1 下列函数中
5、在R上是增函数的是 A y x B y xC y x2D y 2 证明函数f x x 在 0 上是增函数 世纪金榜导学号 思维 引 1 考查当x增大时 函数值y的变化 2 利用单调性的定义证明 解析 1 选B 根据题意 依次分析选项 对于A选项 y x 在R上不是增函数 不符合题意 对于B选项 y x 为正比例函数 在R上是增函数 符合题意 对于C选项 y x2 为二次函数 在R上不是增函数 不符合题意 对于D选项 y 为反比例函数 在R上不是增函数 不符合题意 2 任取x1 x2 0 且x1 x2 则x1 x2 0 那么f x1 f x2 因为x1 x2 0 所以x1x2 0 所以1 0 又
6、x1 x2 0 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以f x 在 0 上单调递增 内化 悟 如果函数是增函数 x与y的关系是什么 减函数呢 提示 如果函数是增函数 当x增大时 y增大 如果函数是减函数 当x增大时 y减小 类题 通 利用定义证明函数单调性的步骤 习练 破 已知函数f x m 0 证明在 2 上是增函数 证明 任取x1 x2 2 且x1 x2 则x1 x2 0 那么f x1 f x2 由x1 x2 2 x1 2 0 x2 2 0 又m 0 x1 x2 0 故f x1 f x2 0 即f x1 f x2 故f x 在 2 上单调递增 加练 固 证明 函数f x 在
7、1 上是减函数 证明 任取x1 x2 1 且x10 又x1 x20 故f x1 f x2 0 即f x1 f x2 故f x 在 1 上单调递减 类型三函数单调性的简单应用角度1利用单调性解函数不等式 典例 已知函数f x 的定义域为 2 2 且f x 在区间 2 2 上是增函数 f 1 m f m 则实数m的取值范围为 世纪金榜导学号 思维 引 从定义域 单调性两个方面列不等式求范围 解析 因为f x 的定义域为 2 2 所以解得 1 m 2 因为f x 是增函数 所以1 m0 5 所以0 5 m 2 答案 0 5 m 2 素养 探 单调性的应用时 常常用到核心素养中的逻辑思维 利用单调性转
8、化不等式 从而求出变量的范围 本例的条件若改为 减函数 试求m的取值范围 解析 因为f x 的定义域为 2 2 所以解得 1 m 2 因为f x 是减函数 所以1 m m 所以m 0 5 所以 1 m 0 5 答案 1 m 0 5 角度2分段函数的单调性 典例 若函数f x 在R上为增函数 则实数b的取值范围为 世纪金榜导学号A 1 2 B C 1 2 D 思维 引 分别考虑x 0 x 0 分界点三个方面的因素求范围 解析 选A 因为函数f x 在R上为增函数 所以解得1 b 2 类题 通 由函数单调性求参数范围的类型及处理方法 1 由函数解析式求参数 2 分段函数的单调性首先分析每段上的单调
9、性 其次是分界点处函数值的大小 如果是增函数 则界点左侧值小于等于右侧值 如果是减函数 则界点左侧值大于等于右侧值 发散 拓 关于 对勾 函数f x x a 0 的单调性 函数y x a 0 的图像如图所示 则函数y x 的单调增区间是 和 单调减区间是 0 和 0 延伸 练 2019 银川高一检测 函数f x x x 0 的单调减区间是 A 2 B 0 2 C D 0 解析 选D 函数f x x x 0 根据对勾函数图像及性质可知 函数f x x x 0 在 单调递增 函数f x 在 0 单调递减 习练 破 1 函数f x kx2 3k 2 x 5在 1 上单调递增 则k的取值范围是 A 0
10、 B C D 解析 选D 当k 0时 f x 2x 5在R上单调递减 不符合题意 当k 0时 因为函数f x kx2 3k 2 x 5在 1 上单调递增 所以解得 k 综上所述 k的取值范围是 2 若函数f x 是 上的减函数 则实数a的取值范围是 解析 由题意 因为f x 在R上是减函数 x 0时f x x2 ax 1 其过定点 0 1 且x 0时是减函数 所以对称轴x 0 又因为x 0时 f x x 3a 是减函数 且在R上是减函数 所以3a 1 由 得0 a 答案 加练 固 已知函数f x x2 ax b 1 若函数f x 的图像过点 1 4 和 2 5 求f x 的解析式 2 若函数f x 在区间 1 2 上不单调 求实数a的取值范围 解析 1 因为函数f x 的图像过点 1 4 和 2 5 所以解得所以f x x2 2x 5 2 函数f x 的对称轴方程为x 要使函数f x 在区间 1 2 上不单调 则1 2 解得 4 a 2
