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1、第一章集合与常用逻辑用语1 1集合1 1 1集合及其表示方法第1课时集合的概念 1 元素与集合的概念 1 集合 2 元素 3 集合的元素具有的三个特点 思考 1 集合中的 对象 所指的就是数学中的数 点 代数式吗 提示 集合中的 对象 所指的范围非常广泛 可以是数学中的数 点 代数式 也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等 2 根据集合的元素的 确定性 判断 很瘦的人 能构成集合吗 为什么 提示 很瘦的人 不能构成集合 因为它没有确定的标准 如果给定一个集合A 一个研究对象a是不是这个集合中的元素就确定了 2 元素与集合的关系 思考 元素与集合之间有第三种关系吗 提示 对于一个元素a与一个集
2、合A而言 只有 a A 与 a A 这两种关系 3 空集 思考 对于任意元素a a与空集 的关系是什么 提示 由空集的定义可知 a 4 两个集合相等 5 集合的分类 2 空集可以看成包含0个元素的集合 所以空集是有限集 6 常见的数集及表示符号 思考 N与N 或N 有何区别 提示 N 是所有正整数组成的集合 而N是由0和所有的正整数组成的集合 所以N比N 或N 多一个元素0 素养小测 1 思维辨析 对的打 错的打 1 在一个集合中可以找到两个相同的元素 2 好听的歌能组成一个集合 3 高一 1 班所有姓氏构成的集合 4 把1 2 3三个数排列 共有6种情况 因此由这三个数组成集合有6个 提示
3、1 集合中的元素是互不相同的 2 好听的歌是不确定的 所以好听的歌不能组成一个集合 3 高一 1 班的姓氏是确定的 所以能构成集合 4 因为集合中的元素满足无序性 故由1 2 3三个元素只能组成一个集合 2 已知a R 且a Q 则a可以为 A B C 2D 解析 选A 是无理数 所以 Q R 3 已知集合A含有三个元素0 1 x 2 则实数x不能取的值是 解析 根据集合中元素的互异性可知 x 2 0且x 2 1 所以实数x不能取的值是2 3 答案 2 3 类型一元素与集合的相关概念 典例 1 以下元素的全体不能够构成集合的是 A 中国古代四大发明B 周长为10cm的三角形 C 方程x2 1
4、0的实数解D 地球上的小河流 2 集合P中含有两个元素分别为1和4 集合Q中含有两个元素1和a2 若P与Q相等 则a 世纪金榜导学号 思维 引 1 若一组元素是确定的 则这组元素可以构成集合 2 根据相等集合的元素相同 列方程求a的值 解析 1 选D 在A中 中国古代四大发明具有确定性 能构成集合 故A能构成集合 在B中 周长为10cm的三角形具有确定性 能构成集合 故B能构成集合 在C中 方程x2 1 0的实数解为 1 能构成集 合 故C能构成集合 在D中 地球上的小河流不确定 因此不能构成集合 故D不能构成集合 2 由题意 得a2 4 a 2 答案 2 内化 悟 1 判断一组对象能否组成集
5、合的关键是什么 提示 判断一组对象能否组成集合 关键看该组对象是否满足确定性 如果此组对象满足确定性 就可以组成集合 否则 不能组成集合 2 两个相等集合的元素有什么特点 提示 其中一个集合的任意一个元素 在另一个集合中都可以找到相同的元素 类题 通 1 一组对象能构成集合的两个条件 1 能找到一个明确的标准 使得对于任何一个对象 都能确定它是不是给定集合的元素 2 任何两个对象都是不同的 2 集合相等的注意点若两个集合相等 则这两个集合的元素相同 但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等 习练 破 1 下列判断正确的个数为 1 所有的等腰三角形构成一个集合 2 倒数等于它自身的实数构成一个集
6、合 3 质数的全体构成一个集合 4 由2 3 4 3 6 2构成含有6个元素的集合 A 1B 2C 3D 4 解析 选C 1 正确 2 正确 若 a 则a2 1 所以a 1 构成的集合为 1 1 3 正确 任何一个质数都在此集合中 不是质数的都不在 4 不正确 集合中的元素具有互异性 构成的集合为 2 3 4 6 含有4个元素 解析 选A 由题意知a b 0 所以 1 所以a 1 b 1 所以a 2b 1 加练 固 1 对于以下说法 绝对值非常小的全体实数构成一个集合 长方体的全体构成一个集合 全体无实数根的一元二次方程构成一个集合 0 0 5 组成的集合含有4个元素 其中正确的是 A B C
7、 D 解析 选B 中的元素不能确定 中的集合含有3个元素 中的元素是确定的 所以 能构成集合 2 下列所给的对象能构成集合的是 1 2018年布宜诺斯艾利斯青奥会上中国队获得的金牌 2 无限接近零的数 3 方程x2 2x 3 0的所有解 4 平面直角坐标系中 第一象限内的所有点 解析 1 能 因为中国队获得的金牌是确定的 2 不能 因为 无限接近 标准不明确 不具有确定性 不能构成集合 3 能 因为方程x2 2x 3 0的解为x 3或x 1 是确定的数 所以可以组成集合 集合中有两个元素 1和3 4 能 因为第一象限内的点是确定的点 综上 能构成集合的是 1 3 4 答案 1 3 4 类型二元
8、素与集合的关系 典例 1 下列结论中 不正确的是 A 若a N 则 a NB 若a Z 则a2 ZC 若a Q 则 a QD 若a R 则a3 R 2 由不超过5的实数组成集合A a 则 世纪金榜导学号A a AB a2 AC AD a 1 A 思维 引 1 根据常见数集的表示方法和 a a2 a a3的意义逐个判断 2 a a2 a 1与5比较大小 即可确定答案 解析 1 选A A中a 0时 显然不成立 2 选A a 4 5 所以a A a 1 1 5 所以a 1 A a2 2 2 2 5 2 5 所以a2 A 所以 A 内化 悟 研究元素与集合的关系的关键是什么 提示 1 明确集合是由怎样
9、的元素组成 2 对于各种数集要熟练掌握 3 构成集合的元素特征较为隐蔽时 要注意利用相关知识进行分析 类题 通 判断元素和集合关系的两种方法 1 直接法 使用前提 集合中的元素是直接给出的 判断方法 首先明确集合是由哪些元素构成 然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可 2 推理法 使用前提 对于某些不便直接表示的集合 判断方法 首先明确已知集合的元素具有什么特征 然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可 习练 破 1 给出下列关系 R Q 3 N Q 0 N 其中正确的个数为 A 1B 2C 3D 4 解析 选B 是实数 是无理数 3 3是自然数 是无理数 0是自然数 故 正确 不正
10、确 2 已知集合A是由形如m n 其中m n Z 的数组成的 判断是不是集合A中的元素 解析 是 因为 2 此时m 2 n 1 满足集合A中数的构成形式 所以是集合A中的元素 加练 固 1 已知A中元素x满足x 3k 1 k Z 则下列表示正确的是 A 1 AB 11 AC 3k2 1 AD 34 A 解析 选C k 0时 x 1 所以 1 A 所以A错误 令 11 3k 1 k Z 所以 11 A 所以B错误 令 34 3k 1 k 11 所以 34 A 所以D错误 因为k Z 所以k2 Z 则3k2 1 A 所以C正确 2 集合A中的元素x满足 N x N 则集合A中的元素为 解析 由 N
11、 x N知x 0 0 且x 3 故0 x 3 又x N 故x 0 1 2 当x 0时 2 N 当x 1时 3 N 当x 2时 6 N 故集合A中的元素为0 1 2 答案 0 1 2 类型三集合中元素的特点 典例 已知集合A含有两个元素a 3和2a 1 世纪金榜导学号 1 若 3 A 试求实数a的值 2 若a A 试求实数a的值 思维 引 1 先根据 3 A列方程求a 然后检验集合中元素的互异性 2 先根据a A列方程求a 然后检验集合中元素的互异性 解析 1 因为 3 A 所以a 3 3或2a 1 3 若a 3 3 则a 0 此时集合A含有两个元素 3 1 符合题意 若2a 1 3 则a 1
12、此时集合A含有两个元素 4 3 符合题意 综上所述 满足题意的实数a的值为0或 1 2 因为a A 所以a 3 a或2a 1 a 当a 3 a时 有 3 0 不成立 当2a 1 a时 有a 1 此时A中有两个元素 2 1 符合题意 综上知a 1 素养 探 在与集合中元素的特点有关的问题中 经常利用核心素养中的数学抽象和逻辑推理 通过研究集合中元素的特点以及元素与集合的关系 抽象出集合中元素满足的条件 进而求出有关未知数的值 将本例的条件改为 集合A中含有三个元素x 2 2x2 5x 12 且 3 A 求x的值 解析 因为 3 A 所以x 2 3或2x2 5x 3 所以x 1或x 当x 1时 x
13、 2 3 2x2 5x 3 集合A不满足元素的互异性 所以x 1舍去 当x 时 经检验 符合题意 综上知x 类题 通 根据集合中元素的特点求值的三个步骤 发散 拓 集合中元素的特点的主要作用是什么 提示 1 确定性的主要作用是判断一组对象能否构成集合 只有这种对象具有确定性时才能构成集合 2 无序性的主要作用是与集合相等相映证 当两个集合相等时 其元素不一定依次对应相等 只要元素完全一致即可 3 互异性的主要作用是做题后进行检验 特别是题中含有参数 字母 求出参数的值后一定要检验求出的参数是否满足集合中元素的互异性 延伸 练 数集A满足条件 若a A 则 A a 1 若 A 求集合中的其他元素
14、 解析 因为 A 所以 2 A 所以 3 A 所以 A 所以 A 故当 A时 集合中的其他元素为2 3 习练 破 集合P由1 m m2 3m 1三个元素组成 若3 P且 1 P 则实数m 解析 由题意 分两种情况 1 若m 3 则m2 3m 1 1 不满足题意 2 若m2 3m 1 3 则m 4或m 1 m 1不满足题意 应舍去 故m 4 答案 4 加练 固 设集合M中含有三个元素3 x x2 2x 1 求实数x应满足的条件 2 若 2 M 求实数x的值 解析 1 由集合中元素的互异性可知 x 3 且x x2 2x x2 2x 3 解得x 1 x 0且x 3 2 因为 2 M 所以x 2或x2 2x 2 若x2 2x 2 则x2 2x 2 0 因为 2 2 4 1 2 4 0 方程无解 所以x 2
