数值计算方法复习题答案

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1、 课后题答案详解 课后题答案详解 吉 林 大 学 数值计算方法 数值计算方法 数值计算方法 第一章课后题答案 1 第一章第一章 习习 题题 答答 案案 1 已知 1 2 1 1 2 1fff 求 f x的Lagrange插值多项式 解 由题意知 012012 12 0 0102 02 1 1012 01 2 2021 2 0 1 1 2 2 1 1 1 2 6 1 2 2 1 1 3 1 2 1 2 21 62 n j j j xxxyyy xxxxxx l xxxx xxxxxx l xxxx xxxxxx l xxxx xxxx L xy lx 2 1 1 1 3 1 38 6 xx xx

2、 2 取节点 012 1 0 1 2 xxx 对 x ye 建立Lagrange型二次插值函数 并估计差 解 1 1 2 012012 1 0 1 1 2 xxxyyeye 1 由题意知 则根据二次Lagrange插值公式得 020112 012 010210122021 10 5 10 520 51 2 1 0 5 2 0 5 4 1 224 43 1 xxxxxxxxxxxx L xyyy xxxxxxxxxxxx xxx xex xe eexeex 2 2 Lagrange根据余项定理 其误差为 3 22 1 01 2 2 1 1 0 5 3 6 1 max 1 0 5 0 1 6 1

3、0 5 330 50 33 0 2113 6 1 0 2113 0 2113 1 0 21130 5 0 00802 6 x f R xxex xx x xx t xx xxt xxx xt x R x 取 并令 可知当时 有极大值 3 已知函数yx 在4 6 25 9xxx 处的函数值 试通过一个二次插值函数求 7的近似值 并估计其误差 解 012012 4 6 25 9 2 2 5 3yxxxxyyy 由题意知 1 采用Lagrange插值多项式 2 2 0 j j j yxLxlx y 数值计算方法 第一章课后题答案 2 27 020112 012 010210122021 7 76 2

4、5 79 74 79 74 76 25 22 53 2 25 52 25 2 752 75 5 2 6484848 x yL x xxxxxxxxxxxx yyy xxxxxxxxxxxx 其误差为 3 2 5 3 2 5 3 2 4 9 2 7 74 76 25 79 3 3 8 3 max 40 01172 8 1 7 4 5 0 01172 0 00879 6 f R fxx fx R 又 则 2 采用Newton插值多项式 2 yxNx 根据题意作差商表 i i x i f x 一阶差商 二阶差商 0 4 2 1 6 25 2 5 2 9 2 9 3 211 4 495 2 24 7

5、2 74 74 76 25 2 6484848 9495 N 4 设 0 1 k f xxkn 试列出 f x关于互异节点 0 1 i x in 的Lagrange插值 多项式 注意到 若1n 个节点 0 1 i x in 互异 则对任意次数n 的多项式 f x 它关于节点 0 1 i x in 满足条件 0 1 ii P xy in 的插值多项式 P x就是它本身 可见 当kn 时 幂函数 0 1 k f xxkn 关于1n 个节点 0 1 i x in 的插值多项式就是它本身 故依 Lagrange公式有 000 0 1 nnn kkk i jjj jji ji ij xx x lxxxk

6、n xx 特别地 当0k 时 有 000 1 nnn i j jji ji ij xx lx xx 而当1k 时有 000 nnn i j jj jji ji ij xx x lxxx xx 5 依据下列函数表分别建立次数不超过3的Lagrange插值多项式和Newton插值多项 式 并验证插值多项式的唯一性 数值计算方法 第一章课后题答案 3 解 1 Lagrange 插值多项式 3 3 0 jj j L xlx y 3 0 j i i i j ij xx lx xx 312 0 010203 124 0 10204 xxxxxxxxx l x xxxxxx 32 7148 8 xxx 03

7、2 1 101213 024 1 01 21 4 xxxxxxxxx l x xxxxxx 32 68 3 xxx 031 2 202123 014 202 124 xxxxxxxxx lx xxxxxx 32 54 4 xxx 012 3 303132 012 404 142 xxxxxxxxx l x xxxxxx 32 32 24 xxx 3 2222 32 124024 19 01020410 12 14 014012 233 202124404142 1231 3243685432 848 11451 1 442 xxxxxx Lx xxxxxx xxxx xxx xxx xx xx

8、x 2 Newton 插值多项式 k k x k f x 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 0 1 1 1 9 8 2 2 23 14 3 3 4 3 10 8 11 4 3001001201 Nxf xf x xxxf x x xxxxx 0123012 f x x x xxxxxxx 11 1 8 0 3 0 1 0 1 2 4 xxxxxx 32 11451 1 442 xxx 由求解结果可知 33 L xNx 说明插值问题的解存在且唯一 6 已知由数据 1 0 0 0 5 1 3 2 2 y和构造出的Lagrange插值多项式 3 Lx的最高 次项系数是6 试确定 1 y 解 312

9、0 010203 0 512 00 50 102 xxxxxxxxx l x xxxxxx 32 77 1 22 xxx 032 1 101213 012 0 500 5 10 52 xxxxxxxxx l x xxxxxx 32 8 32 3 xxx x 0 1 2 4 f x 1 9 23 3 数值计算方法 第一章课后题答案 4 031 2 202123 00 52 1 01 0 51 2 xxxxxxxxx lx xxxxxx 32 252xxx 012 3 303132 00 51 2020 52 1 xxxxxxxxx l x xxxxxx 32 111 326 xxx 3 L x中

10、最高次项系数为 1 81 0 1 2 326 33 y 1 17 4 y 7 设 4 f xx 试利用Lagrange余项定理给出 f x以1 0 1 2 为节点的插值多项式 3 Lx 解 由 Lagrange 余项定理 1 1 1 nn n n f R xf xL xx n a b 可知 当3n 时 1 4 4 n x ffx 30123 4 3 1 L xf xxxxxxxxx 4 1 0 1 2 xxxxx 32 22xxx 8 设 2 f xCa b 且 0f af b 求证 2 1 max max 8 a x ba x b f xbafx 证明 以 a b为节点进行线性插值 得 xb

11、xa L xf af b abba 1 由于 0f af b 故 1 0L x 于是由 1 2 f f xL xxa xb ab 时 称其为超定方程组 求x 使得 2 2 bAx 取最小值 应用微分学中多元函数求极值的方法可以证明x 为方程组 TT A AxA b 的解 称x 为超定方程组Axb 的最小二乘解 解法一 数值计算方法 第二章课后题答案 16 由题意得 1 2 111 112 223 314 x x 1 2 111 11231111232 1 121221 1213 314 x x 1 2 1597 971 x x 1 12 12 2 29 1597 12 97113 4 x xx

12、 xx x 所以 1 2 29 12 13 4 x x 即是所求的最小二乘解 误差平方和为 2222 12121212 1 2 223 34 xxxxxxxx 解法二 求 12 x x 使误差平方和 2222 12121212 1 2 223 34 xxxxxxxx 为最小 令 0 0 21 xx 得方程组如下 12 12 301814 18142 xx xx 解方程组有 4 13 12 29 21 xx 10 用最小二乘法求一个形如 2 yabx 的经验公式 使它与下列数据相拟合 并估计 平方误差 k x 19 25 31 38 44 k y 19 0 32 3 49 0 73 3 97 8

13、 解 数值计算方法 第二章课后题答案 17 0 2 01 0 1 0 01 11 1 0 1 1 1 1 1 1 361 625 961 1444 1936 19 0 32 3 49 0 73 3 97 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15 1 361 1 625 1 961 1 1444 1 19365327 7277699 369321 5 271 4 55327271 4 5327 T T T xxx y y y ab 2 0 972529 7277699369321 50 0500351 0 9725290 0500351 a abb yx 公式是 将x 19 25 31 38

14、 44分别代入 2 0 970 05yx 得 01234 19 02 32 22 49 02 73 17 97 77 yyyyy 所以误差 4 2 0 0 025 k yy 11 求形如 bx yaea b 为常数 的经验公式 使它能和下表给出的数据相拟合 解 设 bx yae 两边取对数得lnlnyabx 令 01 lnlnYyaaabXx 则有 01 Yaa X 设 2 10 1Xxx 于是得到正规方程组 1111001 0110000 Yaa Yaa 其中 T 1111 1 1 1 1 0 T87654321 1 T T Y 76729 4 47506 4 18358 4 89386 3

15、 60005 3 31054 3 02042 3 72785 2 6 117ln8 87ln6 65ln1 49ln6 36ln4 27ln5 20ln3 15ln 8 00 01 1234567836 20487654321 22222222 11 4 9787 296 117ln8 87ln6 65ln1 49ln6 36ln4 27ln5 20ln3 15ln 0 Y 135 147 1 Y 正规方程组化为 135 14720436 9787 29368 10 10 aa aa 得 0 a 2 43689 1 a 0 291211 lna 2 43689所以a 11 45 1 a b 0

16、 291211 x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 15 3 20 5 27 4 36 6 49 1 65 6 87 8 117 6 数值计算方法 第二章课后题答案 18 lna 2 43689所以a 11 45 a1 b 0 291211 0 291211 11 45 x ye 12 求函数 f x在给定区间上对于 1 spanx 的最佳平方逼近多项式 1arctan 0 1 3 0 1 f xx f xx 2cos 0 1 4 1 1 x f xx f xe 解 设 xxx 10 1 1111001 0110000 yaa yaa 1 arctan 0 1f xx 111 2 000111 000 11 01 00 1 1 2 1 3 11 ln2 4242 dxxdxx dx yarctgxdxyxarctgxdx 010 011 11 ln22ln23 2422 1113 63ln2 23422 3 2ln23 63ln2 22 aaa aaa yx 2 cos 0 1f xx 1111001 0110000 yaa yaa 111 2 000111 000 11 01 2