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1、1 大学物理学习题答案大学物理学习题答案 习题一习题一答案答案 习题一习题一 1 1 简要回答下列问题 1 位移和路程有何区别 在什么情况下二者的量值相等 在什么情况下二者的量值不相 等 2 平均速度和平均速率有何区别 在什么情况下二者的量值相等 3 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么 瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什 么 4 质点的位矢方向不变 它是否一定做直线运动 质点做直线运动 其位矢的方向是否一 定保持不变 5 r v和r v 有区别吗 v v和v v 有区别吗 0 dv dt v 和0 d v dt v 各代表什么运动 6 设质点的运动方程为 xx t yy t 在计算质点的速
2、度和加速度时 有人先求 出 22 rxy 然后根据 dr v dt 及 2 2 d r a dt 而求得结果 又有人先计算速度和加速度的分量 再合成求得结果 即 22 dxdy v dtdt 及 22 22 22 d xd y a dtdt 你认为两种方法哪一种正确 两者区别何在 7 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的 那么 该质点的速度和位矢与时间的关系 是否也是线性的 8 物体做曲线运动时 速度方向一定在运动轨道的切线方向 法向分速度恒为零 因此 其法向加速度也一定为零 这种说法正确吗 9 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧 为什么 10 质点沿圆周运动 且速率随时间均
3、匀增大 n a t a a三者的大小是否随时间改变 11 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子 此石子能否落回他的手中 如果石子抛出后 火车以恒定加速度前进 结果又如何 1 2 一质点沿x轴运动 坐标与时间的变化关系为 2 24ttx 式中tx 分别以m s为单 位 试计算 1 在最初s2内的位移 平均速度和s2末的瞬时速度 2 s1末到s3末的平均 2 加速度 3 s3末的瞬时加速度 解 1 最初s2内的位移为为 2 0 000 xxxm s 最初s2内的平均速度为 0 0 2 ave x vm s t t时刻的瞬时速度为 44 dx v tt dt s2末的瞬时速度为 2 44
4、 24 vm s 2 s1末到s3末的平均加速度为 2 3 1 80 4 22 ave vvv am s t 3 s3末的瞬时加速度为 2 44 4 dvdt am s dtdt 1 3 质点作直线运动 初速度为零 初始加速度为 0 a 质点出发后 每经过 时间 加速度 均匀增加b 求经过t时间后 质点的速度和位移 解解解解 由题意知 加速度和时间的关系为 0 b aat 利用dvadt 并取积分得 0 00 vt b dvat dv 2 0 2 b va tt 再利用dxvdt 并取积分 设0t 时 0 0 x 得 0 0 xt x dxvdt 23 0 1 26 b xa tt 1 4 一
5、质点从位矢为 0 4rj r r 的位置以初速度 0 4vi r r 开始运动 其加速度与时间的关系 为 3 2at ij rr r 所有的长度以米计 时间以秒计 求 1 经过多长时间质点到达x轴 2 到达x轴时的位置 解 解 解 解 2 0 3 0 4 2 2 t v tva t dttit j rr rrr 32 0 1 0 44 2 t r trv t dtttitj rr rr 1 当 2 40t 即2ts 时 到达x轴 3 2 2ts 时到达x轴的位矢为 2 12ri r r 即质点到达x轴时的位置为12 0 xmy 1 5 一质点沿x轴运动 其加速度与坐标的关系为 2 ax 式中
6、为常数 设0 t时刻 的质点坐标为 0 x 速度为 0 v 求质点的速度与坐标的关系 解 按题意 2 2 2 d x x dt 由此有 dx dv v dt dx dx dv dt dv dt xd x 2 2 2 即xdxvdv 2 两边取积分 x x v v xdxvdv 00 2 得 2 0 2 2 1 22 2 1 2 02 1 2 2 1 xxvv 由此给出 22 vAx 2 0 2 02 x v A 1 6 一质点的运动方程为k tjtitr vvv v 2 4 式中r t分别以m s为单位 试求 1 质点的速度与加速度 2 质点的轨迹方程 解 1 速度和加速度分别为 8 dr v
7、t jk dt v vv v j dt vd a v v 8 2 令kzj yi xtr vvv v 与所给条件比较可知1 x 2 4ty tz 所以轨迹方程为 2 1 4xyz 1 7 已知质点作直线运动 其速度为 21 3 vttms 求质点在0 4s时间内的路程 解解解解 在求解本题中要注意 在0 4s时间内 速度有时大于零 有时小于零 因而运动出 现往返 如果计算积分 4 0 vdt 则求出的是位移而不是路程 求路程应当计算积分 4 0 v dt 令 2 30vtt 解得3ts 由此可知 3t vv 3t s 时 0v 而3t s 时 0v vv 因而质点在0 4s时间内的路程为 4
8、43434 22 00303 33sv dtvdtv dtttdtttdt 34 2323 03 31311 6 23233 ttttm 1 8 在离船的高度为h的岸边 一人以恒定的速率 0 v收绳 求当船头与岸的水平距离为x时 船的速度和加速度 解解解解 建立坐标系如题 1 8 图所示 船沿X轴方向作直线运动 欲求速度 应先建立运动方 程 由图题 1 8 可得出 O X r h 0 v r x Y 习题 1 8 图 222 xrh 两边求微分 则有 22 dxdr xr dtdt 船速为 dxr dr v dtx dt 按题意 0 dr v dt 负号表示绳随时间t缩短 所以船速为 22 0
9、 xh vv x 负号表明船速与x轴正向反向 船速与x有关 说明船作变速运动 将上式对时间求导 可 得船的加速度为 22 0 3 h vdv a dtx 负号表明船的加速度与x轴正方向相反 与船速方向相同 加速度与x有关 说明船作变加 速运动 5 1 9 一质点沿半径为10cm的圆周运动 其角坐标 以弧度rad计 可用下式表示 3 24t 其中t的单位是秒 s 试问 1 在2ts 时 它的法向加速度和切向加速度各是多少 2 当 等于多少时其总加速度与半径成45o角 解 1 利用 3 24t 2 12ddtt 24ddtt 得到法向加速度和切向加速度的表达式 24 144 n arrt 24 t
10、 arrt 在2ts 时 法向加速度和切向加速度为 442 144144 0 1 2230 4 n artm s 2 2424 0 1 24 8 t artm s 2 要使总加速度与半径成45o角 必须有 nt aa 即 4 14424rtrt 解得 3 1 6t 此时67 242 3 t rad 1 10 甲乙两船 甲以10 km h的速度向东行驶 乙以15 km h的速度向南行驶 问坐在乙船 上的人看来 甲船的速度如何 坐在甲船上的人看来乙船的速度又如何 解 以地球为参照系 设i v j v 分别代表正东和正北方向 则甲乙两船速度分别为 hkmiv 10 1 v v hkmjv 15 2
11、v v 根据伽利略变换 当以乙船为参照物时 甲船速度为 hkmjivvv 1510 21 vv vvv hkmv 1 181510 22 v o 31 56 10 15 arctg 即在乙船上看 甲船速度为18 1 km h 方向为东偏北 o 31 56 同理 在甲船上看 乙船速度为18 1 km h 方向为西偏南 o 31 56 1 11 有一水平飞行的飞机 速率为 0 v 在飞机上安置一门大炮 炮弹以水平速度v向前射 击 略去空气阻力 1 以地球为参照系 求炮弹的轨迹方程 2 以飞机为参照系 求炮弹的轨迹方程 3 以炮弹为参照系 飞机的轨迹如何 解 1 以地球为参照系时 炮弹的初速度为 0
12、1 vvv 而tvx 1 2 5 0gty 消去时间参数t 得到轨迹方程为 2 0 2 2vv gx y 若以竖直向下为 y 轴正方向 则负号去掉 下同 2 以飞机为参照系时 炮弹的初速度为v 同上可得轨迹方程为 2 2 2v gx y 6 3 以炮弹为参照系 只需在 2 的求解过程中用x 代替x y 代替y 可得 2 2 2v gx y 1 12 如题 1 12 图 一条船平行于平直的海岸线航行 离岸的距离为D 速率为v 一艘速 率为uv时只能取 km T vv m kT vv 2 2 21 2 10 一质量为m的子弹射入置于光滑水平面上质量为M并与劲度系数为k的轻弹簧连着 的木块后使弹簧最
13、大压缩了L 求子弹射入前的速度 0 v 12 M m 0 v 习题 2 10 图 解解解解 子弹射入木块到相对静止的过程是一个完全非弹性碰撞 时间极短 木块获得了速度 尚未位移 因而弹簧尚未压缩 此时木块和子弹有共同的速度 1 v 由动量守恒 10 mM vmv 此后 弹簧开始压缩 直到最大压缩 由机械能守恒 22 1 11 22 mM vkL 由两式消去 1 v 解出 0 v得 0 L vk mM m 2 11 质量m的物体从静止开始 在竖直平面内沿着固定的四分之一圆周从A滑到B 在B 处时 物体速度的大小为 B v 已知圆的半径为R 求物体从A滑到B的过程中摩擦力所作 的功 1 用功的定义
14、求 2 用动能定理求 3 用功能原理求 A B 习题 2 11 图 解解解解 方法一 当物体滑到与水平成任意 角的位置时 物体在切线方向的牛顿方程为 cos t dv mgfmam dt 即 cos dv fmgm dt 注意摩擦力f r 与位移dr r 反向 且 drRd r 因此摩擦力的功为 2 00 cos B v f dr AmgRdmdv dt r 2 2 00 1 cos 2 B v B mgRdmvdvmgRmv R f N mg 13 方法二 选m为研究对象 合外力的功为 AmgfNdr rr rr 考虑到N0dr r r 因而 2 0 cos cos fff AAmgdrAm
15、gRdAmgR r 由于动能增量为 2 1 0 2 kB Emv 因而按动能定理有 2 1 2 fB AmgRmv 2 1 2 fB AmgRmv 方法三 选物体 地球组成的系统为研究对象 以B点为重力势能零点 初始在A点时 0p EmgR 0 0 k E 终了在B点时 0 p E 2 1 2 kB Emv 由功能原理知 2 10 1 2 f AEEEmvmgR 经比较可知 用功能原理求最简捷 2 12 墙壁上固定一弹簧 弹簧另一端连接一个物体 弹簧的劲度系数为k 物体m与桌面 间的摩擦因素为 若以恒力F将物体自平衡点向右拉动 试求到达最远时 系统的势能 f X 习题 2 12 图 解 解 解
16、 解 物体水平受力如图 其中 k fkx fmg 物体到达最远时 0v 设此时物 体的位移为x 由动能定理有 0 00 x F kxmg dx 即 2 1 0 2 Fxkxmgx 解出 2Fmg x k 系统的势能为 2 2 21 2 p Fmg Ekx k 2 13一双原子分子的势能函数为 k f m F 14 6 0 12 0 0 2 r r r r ErEp 式中r为二原子间的距离 试证明 0 r为分子势能极小时的原子间距 分子势能的极小值为 0 E 当0 rEp时 原子间距离为 6 0 2 r 证明 1 当 0 P dEr dr 2 2 0 P d Er dr 时 势能有极小值 min rEP 由 126 126 0000 00 137 2120 P rrrrdErd EE drdrrrrr 得 126 00 rr rr 所以 0 rr 即 0 r为分子势能取极值时的原子间距 另一方面 1262 00 0 2148 12137 P rrd Er E drrr 当 0 rr 时 2 0 0 2222 000 72 137 120 P Ed Er E drrrr 所以 0 rr 时
