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1、高三数学圆锥曲线精选题http:/www.DearEDU.com1、设G,M分别为不等边的重心与外心，A(1, 0),B(1, 0) 且（）求点C的轨迹E的方程（）直线过（0，1）并与曲线E交于P、Q两点，且满足，求此直线方程解：（1）（1） 由已知直线斜率存在，设得2经过抛物线y的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点.（1） 若线段AB的斜率为k，试求中点M的轨迹方程；（2） 若直线的斜率k2，且点M到直线3 x+4y+m=0的距离为，试确定m的取值范围。解：(1)设A(直线AB的方程为y=k(x-1) (k0),代入,得 kx-(2k+4)x+k=0设M(x ,y).则 点M的坐标为(消
2、去k可得M的轨迹方程为 (2)由 d= 得 即 0,得0,即 或 故的取值范围为 (-3（12分）椭圆C1：=1(ab0)的左右顶点分别为A、B.点P双曲线C2：=1在第一象限内的图象上一点，直线AP、BP与椭圆C1分别交于C、D点.若ACD与PCD的面积相等. （1）求P点的坐标； （2）能否使直线CD过椭圆C1的右焦点，若能，求出此时双曲线C2的离心率，若不能，请说明理由.解：（1）设P(x0,y0)(x0a,y00)，又有点A(a,0),B(a,0).（2）（7分）CD垂直于x轴.若CD过椭圆C1的右焦点，则故可使CD过椭圆C1的右焦点，此时C2的离心率为.（12分）4 已知点H（6，0
3、），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足 （1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C； （2）过点T（2，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点，使得AEB是以点E为直角顶点的直角三角形，求直线l的斜率k的取值范围.解：（1）设点M的坐标为由由点Q在x轴的正半轴上，得.所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（2，0）为焦点的抛物线，除去原点.（2）设直线设的两个实数根，由韦达定理得，所以，线段AB的中点坐标为而轴上存在一点E，使AEB为以点E为直角顶点的直角三角形，点F到x轴的距离不大于所以 化简得，解之得，结合（*）得又因为直线的斜率所以，显然故
4、所求直线的斜率k的取值范围为5（本小题满分12分）已知点B（1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足（1）求点P的轨迹C对应的方程；（2）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2满足k1k2=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点.解：（1）设6. （本题满分12分）已知双曲线C的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,一条渐近线方程为x+y=0,且过点（4.）。（）求双曲线方程；（）设点M在双曲线上,=（x,y）,当0,求x的取值范围。并求=0时F1F2M的内切圆面积。（计算结果分母可不有理化）PMF2F1解:（）设双曲线C的方程为
5、-=点（4,）在双曲线C上,42（）2=解得=2双曲线C的方程为-=2（）由0,得,可知点M在以F1F2为直径的圆内（包括圆周）.解方程组满足条件0的x的取值范围是当=0时三角形的顶点M的坐标是（,1）和（,1）设内切圆的圆珠笔心坐标为P（x0,y0）,则=R,由三角形面积公式得1=R（）=4,代入上式得4=R（422）,得R2=满足条件=0时内切圆的面积是FOPDExyAlB7已知双曲线:，是右顶点,是右焦点, 点在轴正半轴上，且满足成等比数列,过作双曲线在第一、三象限的渐近线的垂线，垂足为（）求证：；（）若与双曲线的左、右两支分别相交于点、，求双曲线的离心率的取值范围解：（）法一，FOPD
6、ExyAlB解得 2分6分4分2分法二：同上得4分6分（）8分10分12分8 设为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量，若向量9 且（）求点的轨迹的方程；（）过点作直线与曲线交于两点，设是过点且以为方向向量的直线上一动点，满足（为坐标原点），问是否存在这样的直线，使得四边形为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由解：（1）由题意可得：点到两定点的距离和为，故轨迹是以焦点的椭圆，其方程为（2）显然与曲线无交点，故直线的斜率存在，设的方程为，由可得：，且，四边形为平行四边形，若存在直线使得四边形为矩形，则，则有 ，代入可解得设，则，故不在直线上，即不存在这样的直线9已知抛物线，过原点作斜
7、率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点（）令，求证：数列是等比数列（）设数列的前项和为，试比较与的大小解：（1）因为、在抛物线上，故，又因为直线的斜率为，即，代入可得，故是以为公比的等比数列；（2），故只要比较与的大小方法（一），当时，；当时；当时，方法（二）用数学归纳法证明，其中假设时有,则当时,.10 如图,在平面直角坐标系中,一定长为m的线段,其端点A、B分别在x , y轴上滑动,设点M满足(是大于0.且不等于1的常数).(1) 试问:是否存在两个定点E、F,使得|ME|
8、、|MB|、|MF|成等差数列?若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由.yB(2) 已知直线l: y=k xh (k, h0)与x轴相交于C点,与y轴相交于D点,且与动点M的轨迹没有公共点,试比较CD与m的大小.MO A x解：假设存在两个定点E、F,使得|ME|、|MB|、|MF|成等差数列,则|ME|MF|=2|MB|MB|=m为定值,则点M的轨迹应是以E,F为焦点, |MB|为长半轴长的椭圆.设M(x, y),A(a, 0),B(0,b),a=(1+)x, b=y.依题意,a2b2=m2,(1+)2x2+y2=m2. 0,且1,方程表示椭圆.()当0m,所以这个椭圆的长半轴长为m,
9、焦点所以|ME|MF|=m=2|MB|,故此时两个焦点E、F为符合题意的两个定点.()当1时,方程为=1,此时mm,所以这个椭圆的长半轴长为m|MB|,故此时不存在符合题意的两个定点.(2)由得由于直线l: 与椭圆没有公共点,所以,又直线l: (k, h0)与x轴相交于点C(,0),与y轴相交于点D(0,h),则 CDm.11. 设A、B分别为双曲线，的左、右两个顶点，P为双曲线上一点，|AB|=|BP|=4，PAB=30.（）求双曲线方程;（）设M为（I）中双曲线上任一动点，过B点作直线l1，使得l1BM，过A点作直线l2，使得l2AM，l1，l2相交于点N，求点N的轨迹方程.解：（I）解法
10、一：|AB|=42a=4, a=21过P点做PCx轴，C为垂足在ABP中，|AB|=|BP|=4，PAB=30PBC=2PAB=60|PC|=|PB|sin60=4|BC|=|PB|cos60=4=2 4双曲线方程为所求的双曲线方程为6（II）解法一，设M（x0,y0）, N(x,y)A(2，0)，B（2，0）NBMB，NAMA8经检验点（2，0）、（2，0）不合N点轨迹方程为x2y2=4（点（2,0），（2，0）除外）12解法二：设M（x0,y0） N(x, y)NBMB，NAMA11经检验点（2，0），（2，0）不合N点轨迹方程为x2y2=4（点（2，0），（2，0）除外）12解法三：MA
11、NA（1）7连接M、N，设M、N的中点为R.MANA，NBMB， |AR|=|NM|，|BR|=|NM|AR|=|RB|，R在y轴上.（2）9把（2）代入（1）得：（3）由（3）、（4）代入整理得11经检验，点（2，0）（2，0）不合.N点轨迹方程为x2y2=4（点（2，0），（2，0）除外）1212（12分）已知点H（0，3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，。（1）当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C的方程；（2）过定点A（a，b）的直线与曲线C相交于两点S、R，求证：抛物线S、R两点处的切线的交点B恒在一条直线上。解：（1）解：设P（a,0），Q（0，b
12、）则： 设M（x,y） （2）解法一：设A(a,b)，（x1x2）则：直线SR的方程为：，即4y = (x1+x2)xx1x2A点在SR上，4b=(x1+x2)ax1x2 对求导得：y=x抛物线上S、R处的切线方程为：即4 即4 联立，并解之得 ，代入得：ax2y2b=0故：B点在直线ax2y2b=0上解法二：设A(a,b)当过点A的直线斜率不存在时l与抛物线有且仅有一个公共点，与题意不符，可设直线SR的方程为yb=k(xa)与联立消去y得：x24kx+4ak4b=0设，（x1x2）则由韦达定理：又过S、R点的切线方程分别为：， 联立，并解之得 （k为参数）消去k，得：ax2y2b=0故：B点在直线2axyb=0上13 已知=（x,0），=（1，y），（+）（）（I） 求点（x，y）的轨迹C的方程；（II） 若直线L：y=kx+m(m0)与曲线C交于A、B两点，D（0，1），且有 |AD|=|BD|，试求m的取值范围解：（I）+=（x,0）+(1,y)=(x+, y),=（x, 0）(1,y)= (x, y).(+)(), (+)()=0, (x+)( x)+y(y)=0,
