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1、第六章 数 列高考导航考试要求重难点击命题展望1.数列的概念和简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）； （2）了解数列是自变量为正整数的一类函数.2.等差数列、等比数列（1）理解等差数列、等比数列的概念；（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式；（3）能在具体问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；（4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.本章重点：1.等差数列、等比数列的定义、通项公式和前n项和公式及有关性质;2.注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错
2、位相减求和法、裂项相消求和法、分组求和法、函数与方程思想、数学模型思想以及离散与连续的关系.本章难点：1.数列概念的理解；2.等差等比数列性质的运用；3.数列通项与求和方法的运用.仍然会以客观题考查等差数列与等比数列的通项公式和前n项和公式及性质，在解答题中，会保持以前的风格，注重数列与其他分支的综合能力的考查，在高考中，数列常考常新，其主要原因是它作为一个特殊函数，使它可以与函数、不等式、解析几何、三角函数等综合起来，命出开放性、探索性强的问题，更体现了知识交叉命题原则得以贯彻；又因为数列与生产、生活的联系，使数列应用题也倍受欢迎.知识网络6.1数列的概念与简单表示法典例精析题型一归纳、猜想
3、法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式： (1)7,77,777,7 777，(2)，(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，【解析】(1)将数列变形为(101)，(1021)，(1031)，(10n1)，故an(10n1).(2)分开观察，正负号由(1)n1确定，分子是偶数2n，分母是13,35,57， ，(2n1)(2n1)，故数列的通项公式可写成an(1)n1.(3)将已知数列变为10,21,30,41,50,61,70,81,90，.故数列的通项公式为ann.【点拨】联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的
4、求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项序数的一般规律，从而求得通项.【变式训练1】如下表定义函数f(x)：x12345f(x)54312对于数列an，a14，anf(an1)，n2,3,4，则a2 008的值是()A.1B.2C.3 D.4【解析】a14，a21，a35，a42，a54，可得an4an.所以a2 008a42，故选B.题型二应用an求数列通项【例2】已知数列an的前n项和Sn，分别求其通项公式：(1)Sn3n2；(2)Sn(an2)2 (an0).【解析】(1)当n1时，a1S13121，当n2时，anSnSn1(3n2)(3n12)23n1，又a11不适合上式，
5、故an (2)当n1时，a1S1(a12)2，解得a12，当n2时，anSnSn1(an2)2(an12)2，所以(an2)2(an12)20，所以(anan1)(anan14)0，又an0，所以anan14，可知an为等差数列，公差为4，所以ana1(n1)d2(n1)44n2，a12也适合上式，故an4n2.【点拨】本例的关键是应用an求数列的通项，特别要注意验证a1的值是否满足“n2”的一般性通项公式.【变式训练2】已知a11，ann(an1an)(nN*)，则数列an的通项公式是()A.2n1B.()n1C.n2 D.n【解析】由ann(an1an).所以ann，故选D.题型三利用递推
6、关系求数列的通项【例3】已知在数列an中a11，求满足下列条件的数列的通项公式：(1)an1；(2)an12an2n1.【解析】(1)因为对于一切nN*，an0，因此由an1得2，即2.所以是等差数列，(n1)22n1，即an.(2)根据已知条件得1，即1.所以数列是等差数列，(n1)，即an(2n1)2n1.【点拨】通项公式及递推关系是给出数列的常用方法，尤其是后者，可以通过进一步的计算，将其进行转化，构造新数列求通项，进而可以求得所求数列的通项公式.【变式训练3】设an是首项为1的正项数列，且(n1)anaan1an0(n1,2,3，)，求an.【解析】因为数列an是首项为1的正项数列，所
7、以anan10，所以10，令t，所以(n1)t2tn0，所以(n1)tn(t1)0，得t或t1(舍去)，即.所以，所以an.总结提高1.给出数列的前几项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一.2.由Sn求an时，要分n1和n2两种情况.3.给出Sn与an的递推关系，要求an，常用思路是：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.6.2等差数列典例精析题型一等差数列的判定与基本运算【例1】已知数列an前n项和Snn29n.(1)求证：an为等差数列；(2)记数列|an|的前n项和为Tn，求 Tn的表
8、达式.【解析】(1)证明：n1时，a1S18，当n2时，anSnSn1n29n(n1)29(n1)2n10，当n1时，也适合该式，所以an2n10 (nN*).当n2时，anan12，所以an为等差数列.(2)因为n5时，an0，n6时，an0.所以当n5时，TnSn9nn2，当n6时，Tna1a2a5a6a7anSn2S5n29n2(20)n29n40，所以，【点拨】根据定义法判断数列为等差数列，灵活运用求和公式.【变式训练1】已知等差数列an的前n项和为Sn，且S2142，若记bn，则数列bn()A.是等差数列，但不是等比数列B.是等比数列，但不是等差数列C.既是等差数列，又是等比数列D.
9、既不是等差数列，又不是等比数列【解析】本题考查了两类常见数列，特别是等差数列的性质.根据条件找出等差数列an的首项与公差之间的关系从而确定数列bn的通项是解决问题的突破口.an是等差数列，则S2121a1d42.所以a110d2，即a112.所以bn22(2a11)201，即数列bn是非0常数列，既是等差数列又是等比数列.答案为C.题型二公式的应用【例2】设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，S120，S130.(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1，S2，S12中哪一个值最大，并说明理由.【解析】(1)依题意，有S1212a10，S1313a10，即由a312，得a1122d.将分
10、别代入式，得所以d3.(2)方法一：由d0可知a1a2a3a12a13，因此，若在1n12中存在自然数n，使得an0，an10，则Sn就是S1，S2，S12中的最大值.由于S126(a6a7)0，S1313a70，即a6a70，a70，因此a60，a70，故在S1，S2，S12中，S6的值最大.方法二：由d0可知a1a2a3a12a13，因此，若在1n12中存在自然数n，使得an0，an10，则Sn就是S1，S2，S12中的最大值.故在S1，S2，S12中，S6的值最大.【变式训练2】在等差数列an中，公差d0，a2 008，a2 009是方程x23x50的两个根，Sn是数列an的前n项的和，
11、那么满足条件Sn0的最大自然数n.【解析】由题意知又因为公差d0，所以a2 0080，a2 0090. 当n4 015时，S4 0154 015a2 0084 0150；当n4 016时，S4 0164 0164 0160.所以满足条件Sn0的最大自然数n4 015.题型三性质的应用【例3】某地区2010年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天增加40人；但从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，每天的新感染者人数比前一天减少10人.(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数
12、；(2)该地区9月份(共30天)该病毒新感染者共有多少人？【解析】(1)由题意知，该地区9月份前10天流感病毒的新感染者的人数构成一个首项为40，公差为40的等差数列.所以9月10日的新感染者人数为40(101)40400(人).所以9月11日的新感染者人数为40010390(人).(2)9月份前10天的新感染者人数和为S102 200(人)，9月份后20天流感病毒的新感染者的人数，构成一个首项为390，公差为10的等差数列.所以后20天新感染者的人数和为T2020390(10)5 900(人).所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 2005 9008 100(人).【变式训练3】设等差数
13、列an的前n项和为Sn，若S410，S515，则a4的最大值为 .【解析】因为等差数列an的前n项和为Sn，且S410，S515，所以a43d，即53d62d，所以d1，所以a43d314，故a4的最大值为4.总结提高1.在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公式，如在等差数列中，aman(mn)d.2.在五个量a1、d、n、an、Sn中，知其中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的.3.已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a，ad，a2d外，还可设ad，a，ad；四个数成等差数列时，可设为a3m，am，am，a3m.4.在求解数列问题时，要注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的方法的应用.6.3等比数列典例精析题型一等比数列的基本运算与判定【例1】数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(n1,2,3，).求证：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.【解析】(1)因为an1Sn1Sn，an1
