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1、第九章圆锥曲线与方程高考导航考试要求重难点击命题展望1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；4.了解圆锥曲线的简单应用；5.理解数形结合的思想；6.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.本章重点：1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系问题；3.求曲线的方程或曲线的轨迹；4.数形结合的思想，方程的思想，函数的思想，坐标法.本章难点：1.对圆锥曲线的定义及性质的理解和应用；2.直线与圆锥曲
2、线的位置关系问题；3.曲线与方程的对应关系.圆锥曲线与函数、方程、不等式、三角形、平面向量等知识结合是高考常考题型.极有可能以一小一大的形式出现，小题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法运用；解答题常作为数学高考的把关题或压轴题，综合考查学生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等方面的能力.知识网络9.1椭圆典例精析题型一求椭圆的标准方程【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.【解析】由椭圆的定义知，2a2，故a，由勾股定理得，()2()24c2，所以c2，b2a2c2，故所求
3、方程为1或1.【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2ny21(m0，n0且mn)；(2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆C1的方程为.【解析】方法一：先将题目中的点描出来，如图，A(2,2)，
4、B(，0)，C(0，)，D(2，2)，E(2，)，F(3，2).通过观察可知道点F，O，D可能是抛物线上的点.而A，C，E是椭圆上的点，这时正好点B既不在椭圆上，也不在抛物线上.显然半焦距b，则不妨设椭圆的方程是1，则将点A(2,2)代入可得m12，故该椭圆的方程是1.方法二：欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些.不妨设有两点y2px1，y2px2，则可知B(，0)，C(0，)不是抛物线上的点.而D(2，2)，F(3，2)正好符合.又因为椭圆的交点在x轴上，故B(，0)，C(0，)不可能同时出现.故选用A(2,2)，E(2，)这两个点代入，可得椭圆
5、的方程是1.题型二椭圆的几何性质的运用【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)设椭圆的方程为1(ab0)，|PF1|m，|PF2|n，在F1PF2中，由余弦定理可知4c2m2n22mncos 60，因为mn2a，所以m2n2(mn)22mn4a22mn，所以4c24a23mn，即3mn4a24c2.又mn()2a2(当且仅当mn时取等号)，所以4a24c23a2，所以，即e，所以e的取值范围是，1).(2)由(1)知mnb2，所以mnsin 60b2，即F1PF2的面积只与
6、椭圆的短轴长有关.【点拨】椭圆中F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1|PF2|()2，|PF1|ac.【变式训练2】已知P是椭圆1上的一点，Q，R分别是圆(x4)2y2和圆(x4)2y2上的点，则|PQ|PR|的最小值是.【解析】设F1，F2为椭圆左、右焦点，则F1，F2分别为两已知圆的圆心，则|PQ|PR|(|PF1|)(|PF2|)|PF1|PF2|19.所以|PQ|PR|的最小值为9.题型三有关椭圆的综合问题 【例3】(2010全国新课标)设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0
7、)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.(1)求E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程.【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a.l的方程为yxc，其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x2，x1x2.因为直线AB斜率为1，所以|AB|x2x1|，即a，故a22b2，所以E的离心率e.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0c，y0x0c.由|
8、PA|PB|kPN1，即1c3.从而a3，b3，故E的方程为1.【变式训练3】已知椭圆1(ab0)的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若e，则e的值是()A.B.C.D.【解析】设F1(c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)，则椭圆左准线x，抛物线准线为x3c，x0()x0(3c)e.故选B.总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a、 b的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx2ny21(m0，n
9、0，mn)求解.2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.9.2双曲线典例精析题型一双曲线的定义与标准方程【例1】已知动圆E与圆A：(x4)2y22外切，与圆B：(x4)2y22内切，求动圆圆心E的轨迹方程.【解析】设动圆E的半径为r，则由已知|AE|r，|BE|r，所以|AE|BE|2，又A(4,0)，B(4,0)，所以|AB|8,2|AB|.根据双曲线定义知，点E的轨迹是以A、B为焦点的双
10、曲线的右支.因为a，c4，所以b2c2a214，故点E的轨迹方程是1(x).【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.【变式训练1】P为双曲线1的右支上一点，M，N分别是圆(x5)2y24和(x5)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为()A.6B.7C.8D.9【解析】选D.题型二双曲线几何性质的运用【例2】双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使0，求此双曲线离心率的取值范围.【解析】设P(x，y)，则由0，得APPQ，则P在以AQ为直径的圆上，即 (x)2
11、y2()2，又P在双曲线上，得1，由消去y，得(a2b2)x23a3x2a4a2b20，即(a2b2)x(2a3ab2)(xa)0，当xa时，P与A重合，不符合题意，舍去；当x时，满足题意的点P存在，需xa，化简得a22b2，即3a22c2，所以离心率的取值范围是(1，).【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.【变式训练2】设离心率为e的双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()A.k2e21B.k2e21C.e2k21D.e2k21【解析】由双曲线的图象和渐近线
12、的几何意义，可知直线的斜率k只需满足k，即k2e21，故选C.题型三有关双曲线的综合问题【例3】(2010广东)已知双曲线y21的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，y1)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；(2)若过点H(0，h)(h1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1l2，求h的值.【解析】(1)由题意知|x1|，A1(，0)，A2(，0)，则有直线A1P的方程为y(x)，直线A2Q的方程为y(x).方法一：联立解得交点坐标为x，y，即x1，y1，则x0，|x|.而点P(x1，y1)在双曲线y21上，所以y1.将代
13、入上式，整理得所求轨迹E的方程为y21，x0且x.方法二：设点M(x，y)是A1P与A2Q的交点，得y2(x22).又点P(x1，y1)在双曲线上，因此y1，即y1.代入式整理得y21.因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A1，A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点(0,1)及A2(，0)的直线l的方程为xy0.解方程组得x，y0.所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.故轨迹E不过点(0,1).同理轨迹E也不过点(0，1).综上分析，轨迹E的方程为y21，x0且x.(2)设过点H(0，h)的直线为ykxh(h1)，联立y21得(12k2)x24khx2h220.令16k2h2
14、4(12k2)(2h22)0，得h212k20，解得k1，k2.由于l1l2，则k1k21，故h.过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1l2，因此A1HA2H，由()1，得h.此时，l1，l2的方程分别为yx与yx，它们与轨迹E分别仅有一个交点(，)与(，).所以，符合条件的h的值为或.【变式训练3】双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于()A.12B.32C.42D.52【解析】本题考查双曲线定义的应用及基本量的求解.据题意设|AF1|x，则|A
