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1、第七章不等式高考导航考试要求重难点击命题展望1.不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3.二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；(2)了解二元一次不等式组的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4.基本不等式： (a，b0)(1)了解基本不等
2、式的证明过程；(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.本章重点：1.用不等式的性质比较大小；2.简单不等式的解法；3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题；4.基本不等式的应用.本章难点：1.含有参数不等式的解法；2.不等式的应用；3.线性规划的应用.不等式具有应用广泛、知识综合、能力复合等特点.高考考查时更多的是与函数、方程、数列、三角函数、解析几何、立体几何及实际应用问题相互交叉和综合，将不等式及其性质的运用渗透到这些问题的求解过程中进行考查.线性规划是数学应用的重要内容，高考中除考查线性规划问题的求解与应用外，也考查线性规划方法的迁移.知识网络7.1不等式的性质典例精析题型一比较
3、大小【例1】已知a0，a1，Ploga(a3a1)，Qloga(a2a1)，试比较P与Q的大小.【解析】因为a3a1(a2a1)a2(a1)，当a1时，a3a1a2a1，PQ；当0a1时，a3a1a2a1，PQ；综上所述，a0，a1时，PQ.【点拨】作差比较法是比较两个实数大小的重要方法之一，其解题步骤为：作差；变形；判断符号；得出结论.【变式训练1】已知ma(a2)，nx2(x)，则m，n之间的大小关系为()A.mnB.mnC.mn D.mn【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.maa22224，而nx2()24.题型二确定取值范围【例2】已知，求，的取值范围.【
4、解析】因为，所以，两式相加得.又，所以，又因为，所以0，所以0，综上，0为所求范围.【点拨】求含字母的数(式)的取值范围，一定要注意题设的条件，否则易出错，同时在变换过程中，要注意准确利用不等式的性质.【变式训练2】已知函数f(x)ax2c，且4f(1)1，1f(2)5，求f(3)的取值范围.【解析】由已知4f(1)ac1，1f(2)4ac5.令f(3)9ac(ac)(4ac)，所以故f(3)(ac)(4ac)1,20.题型三开放性问题【例3】已知三个不等式：ab0； ；bcad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？【解析】能组成3个正确命题.对不等式作等价变形:0.(
5、1)由ab0，bcad0，即；(2)由ab0，0bcad0bcad，即；(3)由bcad0，0ab0，即.故可组成3个正确命题.【点拨】这是一类开放性问题，要求熟练掌握不等式的相关性质，并能对题目条件进行恰当的等价变形.【变式训练3】a、b、c、d均为实数，使不等式0和adbc都成立的一组值(a，b，c，d)是_(只要写出符合条件的一组即可).【解析】写出一个等比式子，如0.此时内项的积和外项的积相等，减小的分子，把上式变成不等式0，此时不符合adbc的条件，进行变换可得0，此时2(2)1(3).故(2,1，3，2)是符合要求的一组值.总结提高1.不等式中有关判断性命题，主要依据是不等式的概念
6、和性质.一般地，要判断一个命题是真命题，必须严格证明.要判断一个命题是假命题，只要举出反例，或者由题设条件推出与结论相反的结果.在不等式证明和推理过程中，关键是要弄清每个性质的条件与结论及其逻辑关系，要注意条件的弱化与加强，不可想当然.如在应用ab0，ab这一性质时，不可弱化为ab，也不可强化为ab0.2.题设条件含有字母，而结论唯一确定的选择题，采用赋值法解答可事半功倍.3.比较大小的常用方法是作差比较法和作商比较法，变形是关键.7.2简单不等式的解法典例精析题型一一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)x22x30；(2)已知Ax|3x27x20，Bx|2x2x10，求AB，(RA
7、)B.【解析】(1)方程两根为x11，x23，所以原不等式解集为x|x1或x3.(2)因为Ax|x2，RAx|x或x2，Bx|x或x1，所以ABx|x或x，(RA)Bx|x或x2.【点拨】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密，要注意转化，同时要熟练掌握一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系.对于0的不等式解集简称“大于取两端，小于取中间”.【变式训练1】设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)0，则关于x的不等式f(x)1的解集为()A.(，31，)B.3，1C.3，1(0，)D.3，)【解析】选C.由已知对x0时f(x)x2bxc，且f(4)f(0)，知其对称轴为x
8、2，故2b4.又f(2)0，代入得c4，故f(x)分别解之取并集即得不等式解集为3，1(0，).题型二解含参数的一元二次不等式问题【例2】解关于x的不等式mx2(m2)x20 (mR).【解析】当m0时，原不等式可化为2x20，即x1；当m0时，可分为两种情况：(1)m0 时，方程mx2(m2)x20有两个根，x11，x2.所以不等式的解集为x|x1或x；(2)m0时，原不等式可化为mx2(2m)x20，其对应方程两根为x11，x2，x2x1(1).m2时，m20，m0，所以x2x10，x2x1，不等式的解集为x|1x；m2时，x2x11，原不等式可化为(x1)20，解集为；2m0时，x2x1
9、0，即x2x1，不等式解集为x|x1.综上所述：当m2时，解集为x|1x；当m2时，解集为；当2m0时，解集为x|x1；当m0时，解集为x|x1；当m0时，解集为x|x1或x.【点拨】解含参数的一元二次不等式，首先要判断二次项系数的符号，其次讨论根的情况，然后讨论根的大小，最后依据二次项系数的符号和根的大小写出解集.【变式训练2】解关于x的不等式0.【解析】原不等式等价于(ax1)(x1)0.当a0时，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为x|x或x1；当1a0时，不等式的解集为x|x1；当a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为x|1x.题型三一元二次不等式与一元二次方程之
10、间的联系【例3】已知ax2bxc0的解集为x|1x3，求不等式cx2bxa0的解集.【解析】由于ax2bxc0的解集为x|1x3，因此a0，且ax2bxc0的两根为1、3，则13，13，即4，3.又a0，不等式cx2bxa0可以化为x2x10，即3x24x10，解得x或x1.【点拨】解一元二次不等式时，要注意联系相应的一元二次方程与一元二次函数，明确一元二次不等式的解区间的端点就是相应一元二次方程的根.【变式训练3】(2009江西)若不等式k(x2)的解集为区间a，b，且ba2，则k.【解析】.作出函数y和yk(x2)的图象，函数y的图象是一个半圆，函数yk(x2)的图象是过定点(2，)的一条
11、动直线.依题意，半圆在直线下方的区间长度为2，则必有a1，即1是方程k(x2)的根，代入得k.总结提高1.解一元二次不等式的一般步骤:(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；(2)计算相应的判别式；(3)当0时，求出相应的一元二次方程的两根；(4)根据一元二次不等式的结构，写出其解集.2.当含有参数时，需分类讨论.分类标准往往根据需要而设定.如：是一元一次不等式还是一元二次不等式；开口方向如何；根的判别式的正负；根的大小等.3.要注意三个“二次”之间的联系，重视数形结合思想的应用.7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题典例精析题型一平面区域【例1】已知函数f(x)的定义域为2
12、，)，且f(4)f(2)1，f(x)为f(x)的导函数，函数yf(x)的图象如图所示，则平面区域所围成的面积是() A.2B.4C.5D.8【解析】选B.由f(x)的图象可知，f(x)在2,0上是减函数，在0，)上是增函数.因为f(2)f(4)1，所以当且仅当x(2,4)时，有f(x)f(2)f(4)1.作出可行域如图所示，其围成的图形面积为4.【点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.【变式训练1】若a0，b0，且当时，恒有axby1，则以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积是()A.B.C.1D.【解析】选
13、C.当ab1时，满足xy1，且可知0a1，0b1，所以点P(a，b)所形成的平面区域为边长为1的正方形，所以面积为1.本题关键是确定点所形成的区域形状.题型二利用线性规划求最值(1)zx2y4的最大值；(2)zx2y210y25的最小值；(3)z的取值范围.【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).(1)易知直线x2y4z过点C时，z最大.所以x7，y9时，z取最大值21.(2)zx2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过点M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是()2.(3)z2表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(1，)连线斜率的2倍.因为kQA，kQB，所以z的取值范围为，.【点拨】线性目标函数的最大值、最小值一般在可
