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1、6.1平面向量的概念及线性运算【考纲要求】1、平面向量的实际背景及基本概念 了解向量的实际背景. 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. 理解向量的几何表示. 2、向量的线性运算 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 了解向量线性运算的性质及其几何意义.【基础知识】1、向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。一般用或表示。2、有向线段的定义：带有方向的线段叫有向线段。有向线段包括起点、方向、长度。所以向量可以用有向线段来表示。3、模的定义：向量的长度叫向量的模，记作.4、几个特殊的向量 （1）零向量：长度为零的向量。零向
2、量的方向是任意的。零向量和任意一个向量的方向平行。（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量。 5、向量的关系（1）平行向量（共线向量）：方向相等或相反的向量，叫平行向量。由于平行向量可以自由平移到一条直线上，所以平行向量又叫共线向量。共线向量不一定在一条直线上。（2）相等向量的定义：长度相等方向相同的向量叫做相等向量。（3）相反向量的定义：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。6、向量的加法和减法运算ABC向量的运算几何表示代数表示向量的加法CDAB向量的减法ABC向量加法的三角形法则可推广到多个向量相加：7、向量的数乘（1）定义：求实数与向量的乘积的运算叫向量的数乘，记作。（2）向量的数乘结果
3、还是一个向量。当时，与的方向相同，且；当时，与的方向相反，且。（3）结论向量共线定理:如果向量为非零的向量，那么向量与向量共线有且只有一个实数，使得；三点共线向量表示与向量方向相同的单位向量。8、温馨提示（1）向量手写体必须在字母的上方加一个“”。（2）注意零向量这个特殊的向量。它的方向是任意的，长度是零。（3）注意向量它既有方向，又有长度。（4）解向量题时，由于向量属于几何范畴，所以要注意画图分析，注意平面几何知识（相似、比例等）的运用，利用数形结合的思想分析解答。 (5)|只有才是正确的。而当时，|是的必要非充分条件。（6）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。（7）向量
4、平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。【例题精讲】例1 若a，b是两个不共线的非零向量，tR，若a，b起点相同，t为何值时，a，tb，(ab)三向量的终点在一条直线上？解：设atbma(ab)，mR，化简得ab，a与b不共线，t时，a，tb，(ab)的终点在一条直线上例2 设a、b是不共线的两个非零向量,(1)若=a-3b,求证:A、B、C三点共线;(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.解:(1)证明: (3a+b)-(2a-b)=a+2b.而=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2与共线,且有公共端点B,A、B、C三点共线
5、.Com(2)8a+kb与ka+2b共线,存在实数使得8a+kb=(ka+2b)(8-k)a+(k-2)b=0,a与b是不共线的两个非零向量,8222，k24. 6.1平面向量的概念及线性运算强化训练【基础精练】1.已知R，则下列命题正确的是 （ ） A. |a|a|B.|a|a C.|a|a| D.|a|02.如图所示，D是ABC的边AB的中点，则向量A. B.C. D3.如图，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则()A.B. C.D.4.(2010苏州模拟)若abc0，则a、b、c ()A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B.一定不可能构成三角形C.都是非零向量时能构
6、成三角形D.一定可构成三角形5.已知O为ABC内一点，且则AOC与ABC的面积之比是() A.12B.13 C.23 D.116.已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足则点P与ABC的关系为 ()A.P在ABC内部 B.P在ABC外部C.P在AB边所在直线上 D.P是AC边的一个三等分点7.在ABC中，mn，则.8.在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则(用a，b表示).9.如图，在ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn的值为.10.设i、j分别是平面直角坐示系Ox，Oy正方向上的单位向量，且2imj，nij，5ij，若
7、点A、B、C在同一条直线上，且m2n，求实数m、n的值.11.已知P为ABC内一点，且延长AP交BC于点D，若a，b，用a、b表示向量、. 【拓展提高】1.如图所示,ABC中,点M是BC的中点,点N在AC边上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求APPM的值.2.设a、b是不共线的两个非零向量，(1)若2ab，3ab，a3b，求证：A、B、C三点共线；(2)若8akb与ka2b共线，求实数k的值；(3)设ma，nb， a b，其中m、n、均为实数，m0，n0，若M、P、N三点共线，求证：1.【基础精练参考答案】1.C解析：当0时，|a|a|不成立，A错误；|a|应该是一个非负实数，而非向量
8、，所以B不正确；当0或a0时，|a|0，D错误.2.A解析：3.A解析：4.A解析：若a、b、c均为共线向量时也可以使abc0，但是无法构成三角形或者若a、b、c为两两夹角都为120，且模相等时abc0，但也无法构成三角形. 5.A解析：设AC的中心点为D则 即点O为AC边上的中线BD的中点，.6.D解析：P是AC边的一个三等分点.7. 解：法一：m，n， 法二：，2() ，得m，n.8. ab解析：由3(ab)，即(ab)，又ab，(ab)(ab)ab.9.2解析：()， M、O、N三点共线，1，mn2.10.解：(n2)i(1m)j，(5n)i(2)j.点A、B、C在同一条直线上，即，(n2)i(1m)j(5n)i(2)j，11.解：又0，0，化简，得ab.设t (tR)，则tatb.又设k (kR)，由ba，得k(ba).而a，ak(ba)(1k)akb.由，得代入，有ab.【拓展提高参考答案】2.解：(1)证明：(3ab)(2ab)a2b，而(a3b)(3ab)2a4b2，与共线，且有公共端点B，A、B、C三点共线. (2)8akb与ka2b共线，存在实数，使得(8akb)(ka2b)(8k)a(k2)b0，a与b不共线， (3)证明：M、P、N三点共线，存在实数，使得，ab. a、b不共线，1. 8用心 爱心 专心
