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1、5.4数列的通项和求和【考纲要求】数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用 数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列Sn的通项 通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法 【基础知识】1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性 2 数列an前n 项和Sn与通
2、项an的关系式 an=3 求通项常用方法作新数列法 作等差数列与等比数列 累差叠加法 最基本形式是 an=(anan1+(an1+an2)+(a2a1)+a1 归纳、猜想法 4 数列前n项和常用求法重要公式1+2+n=n(n+1)12+22+n2=n(n+1)(2n+1)13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn 裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)f(n)，然后累加时抵消中间的许多项 应掌握以下常见的裂项 错位相减法分组求和法数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形
3、选用合适方法 【例题精讲】1.等差数列an的各项均为正数，a13，前n项和为Sn，bn为等比数列，b11，且b2S264，b3S3960.(1)求an与bn；(2)求.解：(1)设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正数，an3(n1)d，bnqn1.依题意有解得故an32(n1)2n1，bn8n1.(2) Sn35(2n1)n(n2)，所以(1)(1).2.等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值；(2)当b2时，记bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)由题意，Snbnr， 当n2时
4、，Sn1bn1r.所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0且b1，所以当n2时，an是以b为公比的等比数列，又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)由(1)知，nN*，an(b1)bn12n1，所以bn.Tn.Tn，两式相减得Tn，故Tn. 5.4数列的通项和求和强化训练【基础精练】1数列an的通项公式为an(1)n1(4n3)，则它的前100项之和S100等于()A200B200C400 D4002数列1，的前n项和为()A. B.C. D.3设f(n)2242721023n10(nN)，则f(n)等于()A.(8n1) B.(8n11)C.(8n31) D.(8n41)4若
5、数列an的前n项和为Sn，且满足Snan3，则数列an的前n项和Sn等于()A3n13 B3n3C3n13 D3n35数列1，3，5，7， (2n1)，的前n项和Sn的值等于()An21 B2n2n1Cn21 Dn2n16数列an，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n1)xyn0在y轴上的截距为()A10 B9C10 D97已知函数f(x)对任意xR，都有f(x)1f(1x)，则f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)_.8.2等于_9数列，的前n项和等于_10函数f(n)，且anf(n)f(n1)，则a1a2a1000_.11已知数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn
6、满足San.(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.12等差数列an是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a3，a9成等比数列，S5a.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn，求数列bn的前99项的和13在数列an中，a11，2an12an(nN*)(1)证明：数列是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)令bnan1an，求数列bn的前n项和Sn.【拓展提高】1.数列an中，a13，anan12n10(nN*且n2).(1)求a2、a3的值；(2)证明：数列ann是等比数列，并求an的通项公式；(3)求数列an的前n项和Sn.2 设数列an的首项a1=1，前n项
7、和Sn满足关系式 3tSn(2t+3)Sn1=3t(t0,n=2,3,4) (1)求证 数列an是等比数列；(2)设数列an的公比为f(t)，作数列bn，使b1=1,bn=f()(n=2,3,4)，求数列bn的通项bn；(3)求和 b1b2b2b3+b3b4+b2n1b2nb2nb2n+1 【基础精练参考答案】1.B【解析】S10015913(4993)(41003)50(4)200. 2.B【解析】该数列的通项为an，分裂为两项差的形式为an2，令n1,2,3，则Sn2.Sn2.3.D【解析】f(n)为等比数列23n2的前n4项的和，首项为2，公比为8，故f(n)(8n41)4A【解析】Sn
8、an3，Sn1an13，两式相减得：Sn1Sn(an1an)即an1(an1an)，3.又S1a13，即a1a13，a16.ana1qn163n123n.Snan323n33n13，故应选A.5.A【解析】该数列的通项公式为an(2n1)，则Sn135(2n1)n21.故选A.6.B【解析】设数列an的前n项和为Sn，则Sna1a2an，又an，Sn1，又，n9，原题变为求10xy90在y轴上的截距，令x0，得y9，直线在y轴上的截距为9.故选B.7.3【解析】由条件可知：f(x)f(1x)1.而x(1x)1，f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1，f(2)f(1)f(2)
9、f(3)3.8. 【解析】设S，则S.相减，得S.S2.原式.9. 解析：an，Sn.10.1000【解析】a2nf(2n)f(2n1)4n2(2n1)24n1，a2n1f(2n1)f(2n) (2n)2(2n1)24n1所以数列的前1000项和可分为两部分：(a1a3a5a999)(a2a4a6a1000)1000.11.【解析】(1)San，anSnSn1(n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn由题意Sn1Sn0，故式两边同除以Sn1Sn，得2.数列是首项为1，公差为2的等差数列，12(n1)2n1，Sn.(2)bn，Tnb1b2bn.12、【解析】(1)设数列an的公差为d(
10、d0)，a1，a3，a9成等比数列，aa1a9，(a12d)2a1(a18d)，d2a1d，d0，a1d，S5a，5a1d(a14d) 2由得a1，d，an(n1)n(nN*)(2)bn，b1b2b3b992752.75277.75.13.【解析】(1)证明：由条件得，又n1时，1，故数列构成首项为1，公比为的等比数列从而，即an.(2)由bn得SnSn，两式相减得Sn2，所以Sn5.【拓展提高参考答案】1.【解析】(1)a13，anan12n10(nN*且n2)，a2a1416，a3a2611.(2) 1(n2)，数列ann是首项为a114，公比为1的等比数列，ann4(1)n1，即an4(1)n1n，当n1时，a1413，an的通项公式是an4(1)n1n(nN*). (3)an4(1)n1n(nN*)，Sna1a2an4(1)014(1)124(1)23 4(1)n1n4(1)0(1)1(1)2(1)n1(123n)21(1)n.7 【解析】 (1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)(2t+3)=3t a2= 又3tSn(2t+3)Sn1=3t，3tSn1(2t+3)Sn2=3t 得3tan(2t+3)an1=0 ,n=2,3,4,所以an是一个首项为1公比为的等比数列；(2)由f(t)= =,得bn=f()=+bn1 10用心 爱心 专心
