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1、2011高三理科班数学附加题速成教材3空间向量（一）基础知识1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量；注：空间的一个平移就是一个向量；向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2. 空间向量的运算：空间向量的加法、减法与数乘向量运算：;；向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即运算律：加法交换律： 加法结合律： 数乘分配律： （4）（5）（交换律）（6）（分配律）3.共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使；推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使 或对
2、空间任一点，有或 上面式叫做平面的向量表达式如：已知A(1，0，1)，B(4，4，6)，C(2，2，3)，D(10，14，17)，求证：A，B，C，D共面。A(1，0，1)，B(4，4，6)， C(2，2，3)，D(10，14，17)，=(3，4，5)，=(1，2，2)，=(9，14，16)，令x(3，4，5)y(1，2，2)，则x=2， y=3。=2+3，A，B，C，D共面。4.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使；若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底；推论：设是不共面的四点，
3、则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使5.空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；6空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标如：在空间直角坐标系O-xyz中，点P(2，3，4)关于
4、yOz面的对称点坐标为（-2，3，4）； 关于z轴的对称点坐标为（2，3，-4）；关于原点的对称点坐标为（-2，-3，-4）；点P在xOz面的射影的坐标为。7.表示空间平面： 如：已知A（3，2，1）、B（1，0，4），求：（1）线段AB的中点坐标和长度；（2，1，），（2）到A、B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标满足的条件 4x+4y6z+3=0；求到M，N两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件 （二）基本计算1.坐标运算律：（1）若，则， ，；若，则 ，2.平面法向量：若= （x，y，z）是平面的法向量，如果无其它条件限制，有无数个，而与内两相交直线垂直 , 故只能列出关于x、y
5、、z的两个方程，因此只能求出其中的两个，为方便，我们这里设法向量=（x，y，1），当然也可以设法向量为=（x，2，z）、=（0，y，z）等。如：已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的法向量解：设，则且，即=0，且=0，即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，=z（，1，1）评：一般情况下求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把的某个坐标设为1，再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量3.利用空间向量求角（1）求线线角：设异面直线AB、CD所成的角为，则有cos = | cos，|（2）求线面角：，设直线A
6、B与平面所成的角为，是的法向量，则有sin = | cos，|注意：得到的角是法向量与直线的夹角，并不是直线和平面成的角；斜线与平面成角为，或（3）求二面角：（如图3）设二面角为，分别是的法向量，则有cos= cos， ，cos=，但不能据的符号判断二面角是钝角，还要根据图形辨别；4.利用空间向量求距离（1）求线线距离：设是与异面直线a、b都垂直的向量，Aa，Bb，异面直线a、b间的距离为d，则d = （2）求点面距离：设是平面的法向量，PQ是的斜线，Q，点P到平面的距离为d， (即在方向上投影的绝对值)（3）求线面距离和求面面距离，都可转化为求点面距离。5. 如图，在棱长为1的正方体中，E,
7、F分别为和的中点（1）求异面直线和所成的角的余弦值；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； （3）若点在正方形内部或其边界上，且平面，求的最大值、最小值（1）， （2）平面BDD1的一个法向量为设平面BFC1的法向量为取得平面BFC1的一个法向量所求的余弦值为；（3）设（），由得， 当时，当时，；提醒：本题如果消去而保留，其中，则可以避免出现误将的范围错写成；根源在于表示直线，且仅限于四边形ABCD内，典型例题：ABCDEFA1B1C1D11已知E、F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1E与平面B1FB所成角的余弦值； （
8、3）平面B1FE与平面B1B D所成的锐二面角的余弦值说明 正方体是最简单、特殊的空间几何体，建立空间直角坐标系，运用空间向量的夹角与线线角大小的联系解决线与线所成角；运用平面的法向量与直线的方向向量的夹角解决线与面所成角；运用两个平面的法向量夹角的关系解决二面角的大小要注意，平面的法向量一般通过待定系数法求出，但有时也可直接通过图形找到，从而减少计算量2如图，四边形ABCD是正方形，PB平面ABCD，MAPB，PBAB2MA（1）求直线BD与平面PCD所成的角的大小；ABCDPOM（2）求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的余弦值解 （1）；（2）PDCBAE3在四棱锥PABCD中
9、，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB，BC1，PA2，E为PD的中点（1）求直线AC与PB所成角的余弦值；（2）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC说明 当棱锥有一条侧棱与底面垂直时，便于建立空间直角坐标求线与线所成角转化为直线的方向向量的夹角，这两者并不等同，要注意其联系与区别；掌握利用向量的数量积来说明直线垂直，进而证明线面或面面垂直4如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB2，AD1，顶点D1在底面ABCD上的射影O是CD的中点，侧棱与底面所成的角为60求二面角CAD1O的余弦值解 说明 建立空间坐标系之前，必须交代或证明图中三条交于一点且两两垂直的三条射线，不能只凭感觉ABCDOA1B1C1D17用心 爱心 专心
