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1、高一数学第六讲 数列教师用http:/www.DearEDU.com基础知识一、数列的相关概念1数学列的通项公式：数列的每一项an与项数n的函数关系式an=f(n)称数列通项公式.2数列的前n项和：称数列的前n项和.3数列的单调性：设D是由连续的正整数构成的集合，若对于D中的每一个n都有an+1an（或an+1an），则数列在D内单调递增（或单调递减）.4an与Sn的关系：5两个重要的变换：二、等差数列和等比数列：1.等差数列：1定义：若数列称等差数列；2.通项公式：3.前n项和公式：公式：等比数列：1.定义：若数列（常数），则称等比数列；2.通项公式：3.前n项和公式：当q=1时2简单性质：
2、（1）首尾项性质：设数列1.若是等差数列，则2.若是等比数列，则（2）设p、q、r、s为正整数，且1若是等差数列，则 2若是等比数列，则（3）1若是等差数列，则2若是等比数列，则（4）若是公差为d的等差数列,1.若n为奇数，则2.若n为偶数，则而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；三、学习要点：1学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意公差d0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;公差d0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;公比q1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的
3、.2解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例题解析例1 （1） 公差为0的等差数列是等比数列；公比为的等比数列一定是递减数列；a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac；a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c，以上四个命题中，正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个（2）命题1：若数列an的前n项和Sn=an+b(a1)，则数列an是等比数列；命题2：若数列an的前n项和Sn=an2+bn+c(a0)，则数列an是等差数列；命题3：若数列an的前n项和Sn=
4、nan，则数列an既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个解析 ：（1）四个命题中只有最后一个是真命题。命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；命题2中可知an+1=an，an+1an未必成立，当首项a10时，anan，即an+1an，此时该数列为递增数列；命题3中，若a=b=0，cR，此时有，但数列a,b,c不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=，则成为不必要也不充分条件。（2）上述三个命题均涉及到Sn与an的关系，它们是an=正确判断数列an是等差数列或等比数列，都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。上
5、述三个命题都不是真命题，选择A。由命题1得，a1=a+b，当n2时，an=SnSn1=(a1)an1。若an是等比数列，则=a，即=a，所以只有当b=1且a0时，此数列才是等比数列。由命题2得，a1=a+b+c，当n2时，an=SnSn1=2na+ba，若an是等差数列，则a2a1=2a，即2ac=2a，所以只有当c=0时，数列an才是等差数列。由命题3得，a1=a1，当n2时，an=SnSn1=a1，显然an是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a10；即a1时数列an才又是等比数列。例2（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为,则这个数列有13 项
6、；（2）已知数列是等比数列,且,，则 9 （3）等差数列前项和是，前项和是，则它的前项和是 210 （4）已知等差数列的公差，且成等比数列，则注：这几个题目主要是利用数列的性质来解决。例3根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式：（1）；（2）；（3）解：（1），（2）， =又解：由题意，对一切自然数成立，（3）是首项为公比为的等比数列，说明：（1）本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法； （2）若数列满足，则数列是公比为的等比数列例4解答下述问题：（1）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数。解析：设等差
7、数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为ad, a, a+d，则有 （2）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.解析：设此四数为,解得所求四数为47，57，67，77例5（1）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；解析：为等比数列，将代入得；（另解）由（；当 当（2）由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式解：当时，得不成立， 由得，代入得， 说明：用等比数列前项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1例6设是正数组成的数列，其前项和为，并
8、且对所有自然数，与的等差中项等于与的等比中项，写出数列的前三项；求数列的通项公式(写出推证过程)；令，求解：（1）由题意： ，令，解得令， 解得令， 解得 该数列的前三项为（2），由此，整理得：由题意：，即，数列为等差数列，其中公差，（3）例7若和分别表示数列和的前项和，对任意自然数，有， （1）求数列的通项公式；（2）设集合，若等差数列任一项是中的最大数，且，求的通项公式解：（1）当时：，两式相减得：，又也适合上式，数列的通项公式为（2）对任意，是中的最大数，设等差数列的公差为，则，即，又是一个以为公差的等差数列，训练题一、选择题：1三个数（ ）A1或3B3或1C1或3D3或12在等比数列=
9、（ ）ABCD3等比数列（ ）A1000B40CD4已知等差数列5，8，11，与3，7，11，都有100项，则它们相同项的个数（ ）A25B26C33D345已知一个等差数列的前5项的和是120，最后5项的和是180，又所有项的和为360，则此数列的项数为（ ）A12项B13项C14项D15项6若等差数列则的值( )ABCD二、填空题：7在等比数列的值为 .8若a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c成等差数列，则 .9数列是公差不为零的等差数列，它的第4，8，17项恰是另一等比数列的第6，8，10项，则的公比是 .10在各项为正的等比数列 .三、解答题：11设等差数列求an的值.12设等比数列的各项为正数，前n项的和为2，这n项后面的2n项的和为12，求上述3n项后面的3n项之和.13已知等差数列（）当n为何值时，Sn最小？ （）当n为何值时， （）14数列 参考答案一、1B 2A 3D 4A 5A 6C 二、7.242 8.2, 9. 10.+1112（1）（2）当q=1时，有na1=2及2na1=12，矛盾；综上，所求前3n项后面的3n项的和为112.（另解）设公比为13（）（）（）+14，用心 爱心 专心 117号编辑 9
