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1、内蒙古科技大学本 科 毕 业 论 文论文题目： 随机微分方程在物理学中的应用 院 系： 物理科学与技术学院 专 业： 应用物理 姓 名： vvv 学 号： 0700000069 指导教师： xxx 二零 一二 年 三 月摘要牛顿和莱布尼兹创建了微积分学，为了描述机械动力学、天文学等领域的物理现象，建立了确定性的微分方程。确定性的微分方程在实际问题中有大量的应用。然而在研究实际物理现象的数学模型时，描述一个具体物理现象所用的一组数学方程不会是完全精确的。实际问题中不确定性因素大量存在且往往是问题的关键所在，不可忽视。由于二十世纪中叶大量的含有不确定性的实际问题的出现，以及对模型精确性要求和实际问
2、题复杂性认识的不断提高，不确定性因素越来越多的被考虑到模型的建立中，这就在微分方程的基础上引入了随机因素，促使了随机积分的构建与发展，并在此基础上建立了随机微分方程的相关理论和方法。随着科技的发展，随机微分方程越来越广泛地应用于模型的建立和分析中。本文针对物理学中存在随机性的特征，提取其中的数学本质，利用数学方法和策略，建立相应的随机微分方程，分析其中数学特征和数学机理，推导相关的公式和性质，通过分析来更好的理解物理学中的随机性问题。 关键词：随机微分方程；布朗运动；matlab模拟；Abstract. Newton and Leibniz created calculus, in order
3、 to describe the mechanical dynamics, astronomy and other fields of physics, the establishment of a deterministic differential equation. Deterministic differential equations large number of practical problems in application. However, the actual physical phenomena in the study mathematical model to d
4、escribe the physical phenomenon of a specific set of mathematical equations used to not be completely accurate. Practical problems of uncertainties abound and often the crux of the problem can not be ignored. Since the mid-twentieth century, a lot of uncertainty with the actual problems, and the acc
5、uracy of the model and actual problems requires understanding the complexity of continuous improvement, more and more uncertainty to the model to be considered in This is the basis of the differential equations introduced random factor contributing to the construction and development of stochastic i
6、ntegral, and on this based on the theory of stochastic differential equations and methods.With the development of technology, more and more widely used in stochastic differential equation model and analysis. In this paper, the cha- racteristics of randomness exist in physics, mathematics extracted t
7、he es- sence, the use of mathematical methods and strategies, the establishment of the corresponding stochastic differential equations, mathematical char- acteristics and mathematical analysis in which the mechanism and nature of the formula is derived through the analysis to better Understanding of
8、 stochastic problems in physics. Key words: stochastic differential equations; Brownian motion; matlab simulation;目录引言61随机过程及随机微分方程概述711随机过程71.2随机微分方程（SDE）71.3随机微分方程分类81.3.1系数81.3.2初始值81.3.3移项101.4伊藤微分方程及伊藤微分法则111.4.1伊藤微分方程概述11142伊藤积分11143 伊藤过程111.4.4 引理及其应用121.5随机微分方程的研究意义132随机微分方程的数值解132.1随机微分方程的数
9、值解132.1.1 SDE的解132.1.2 SDE的数值解143用随机微分方程描述物理过程并提炼数学模型143.1布朗运动143.1.1布朗运动概述14312布朗运动的数学模型1532布朗运动的随机微分方程16321布朗运动的微分形式164利用matlab数值模拟布朗运动174.1matlab简介174.1.1matlab特点174.2布朗运动的模拟1843几何布朗运动的模拟18结论20参考文献21致谢22引言本论文的主要内容是随机微分方程及其在物理学中的应用，首先介绍了随机过程和随机微分方程，以及必要的数学准备知识，再通过对物理学中布朗运动的背景分析，提炼数学模型，推导出其微分方程，利用m
10、atlab模拟该过程，最后分析随机微分方程的解及其研究意义。随机微分方程越来越广泛地应用于模型的建立和分析中。本文针对物理学中存在随机性的特征，提取其中的数学本质，利用数学方法和策略，建立相应的随机微分方程，分析其中数学特征和数学机理，推导相关的公式和性质，通过分析来更好的理解物理学中的随机性问题。在本文中，对于理性概念的定义与命题的推导，并不探求数学的严密性，而是通过剖析原始想法叙述其含义及可能的发展，让读者尽快的了解并掌握随机微分方程的思想要领。同时也为想要进一步学习提高的读者提供了一个直观的平台。1随机过程及随机微分方程概述11随机过程 随机过程的理论研究起源于生产、科研中的实际需要，随
11、着人们对现象的认识越来越深人，它已被广泛地应用于自然、社会科学的许多领域中，并在课题的研究和解决中起着重大的作用。大量的含有不确定性的实际问题的出现，促使了随机积分的构建与发展，并在此基础上建立了随机微分方程的相关理论和方法。二元函数是随机过程，其中。如果,则称该过程为离散时间过程；如果R,则称连续时间过程。我们通常把连续时间随机过程记作，0。有时我们用来表示。 对于固定的，比如，（，），0（或离散情形下的，）被称作路径或轨迹。 对于固定的，比如，集合（或者离散情况下的）是时刻该随机过程的状态集。就成了随机变量。1.2随机微分方程（SDE） 通常写成微分形式： 有时也简写为： 被称作漂移项，被
12、称作扩散项。1.3随机微分方程分类1.3.1系数方程 （公式3.1）等价于形式上该随机微分方程组的解可写为对一个模型而言，在工程上感兴趣的是它的解的数值。对于公式3.1其中分别为： 1.3.2初始值定理：若连续，则方程（3.1）对于任何初始条件有唯一均方解。证明：方程（3.1）等价于积分方程。下用逐步逼近法来解这个积分方程。由关系式定义了一个随机过程序列。考虑五维闭区域。在D上连续因而有界，即存在常数M，在D上满足，随机积分有如下形式，因此，其中。又由在D上的连续性可知它们皆有界，所以存在常数在D上满足所以有又有计算得知其中。从而推出同理最后有所以有 于是有，其中，即有序列为一致收敛的。所以唯
13、一存在。1.3.3移项考虑X(t)和t的一个任意函数h(X,t),在X和t的任何有限区间上它的偏导数是联合连续和有界的。如果用表示时间增量下的一个有限向前增量算子有：这时的泰勒级数展开为： (3.2)已证明,因此给定X下方程（3.2）的条件的期望为：再对上述方程求期望得：上式同时除以再令，交换微分与期望，便得常微分方程： （3.3）令，方程（3.3）就是对于的矩方程。当，状态变量，则，将附录中的各参数代入方程（3.3）即可求出的矩方程。1.4伊藤微分方程及伊藤微分法则1.4.1伊藤微分方程概述伊藤微分方程是一类在控制论、滤波和通讯理论中有着重要作用的随机微分方程，它的表述如下X(t)=fX(t
14、)，t+GX(t)，tW(t)，t属于t。，T，X(t。)=X。其中W(t)是m维矢量随机过程，其分量是高斯白噪声过程，Gx(t)，t是nxm矩阵函数，X。与W(t)独立。f，G均为t。，T上布朗可测函数。若fX(t)，t为关于X的非线性函数，则称其非线性伊藤随机微分方程。首先研究这类随机微分方程的是郎之万，他在1908年研究粒子作布朗运动时提出这类方程。从那时起这类微分方程的研究得到了迅速发展。这种方程描述了一切具有随机扰动或输入的系统。142伊藤积分 假设是关于布朗运动生成的事件流适应的随机过程，满足+.则X的积分定义为： 例如： = 143 伊藤过程 随机过程可以写成如下形式： 其中和是两个适应过程，且满足 and 则被
