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1、高一数学暑期专题辅导材料 第一章集合与简易逻辑五http:/www.DearEDU.com一、教学进度:1.4 含绝对值的不等式解法1.5 一元二次不等式解法教学内容1和 型的不等式2一元二次不等式 和()的解法二、重点难点剖析1实数的大小比较a-b0ab,a-b=0a=b a-b0ab.2不等式的基本性质aba+cb+c ab,c0acbc,ab,c0acbc.3绝对值的意义 a(a0) 0(a=0)-a(a04最简绝对值的解法|x|a(a0)xa或x-a,|x|a(a0)-axa.5|ax+b|c(c0),|ax+b|c(c0)型6|ax+b|c或|ax+b|c(c0)这两种类型的不等式的
2、解题方法是利用了最简绝对值不等式的思想,把绝对值不等式化为代数不等式来解决。 7在具体变形时要注意同解变形; (1)|ax+b|c(c0)ax+bc或ax+b-c; (2)|ax+b|c(c0)-cax+bc. 然后再根据a的正、负解出相应绝对值的解。 8解含绝对值不等式的基本思想: 化归脱去绝对值符号 含绝对值不等式 不含绝对值符号不等式 9脱去绝对符号的方法有: (1)化归法,化为|x|a或|x|a(a0)型。 (2)零点分段法,找绝对值为零的点,分段讨论。 (3)数形结合。 (4)平方法,化为一元二次不等式(后面将会学到)。10和型的不等式(1)解含绝对值的不等式的基本方法体现了“化归”
3、的数学思想,即将含绝对值的不 等式化归为不含绝对值的“普通不等式”,在化归时要注意绝对值的含意.(2)对含绝对值的不等式,一般地有如不结论:当, 或当,的解集为; .当,的解集为;的解集为R.【例1】 求满足的值.解:由绝对值的定义得, ,或, ,或.【例2】 求不等式2x-15的解集. , 解:原不等式可以化为不等式组 . 由,2x-11 或 2x-1-1, x1 或 x0. 由,-52x-15, -2x3. 原不等式的解集为x|-2x0,或1x3.评析 本题也可以根据绝对值的意义来解.原不等式可以变形为.由绝对值的意义,|表示数轴上坐标为x的点到坐标为的点的距离,而该距离等于的点的坐标是0
4、和1,该距离等于的点的坐标是-2和3,由数轴可见,原不等式的解是x|-2x0,或1x2x-1.解 (1) |4x-3|x+1, -(x+1) 4x-3x+1, 即 x-14x-3, 4x-3x+1. 由得 , 由得 . 原不等式的解集为 x|. (2) |3x+5|2x-1, 3x+52x-1, 或 3x+5-6, 由得 x. 原不等式的解集为x|xR.【例4】 求关于x的不等式|2x+1|t+1 (tR)的解集. 解 当t+10,即t0,即t-1时,-(t+1) 2x+1t+1,-t-22xt,不等式的解集为x|. 评析 所谓“关于x的不等式”是指除x以外的其他字母均表示常数.由于t+1的符
5、号不确定,因此这里需对t的不同情况分别求解. (3)对于含有几个绝对值的方程或不等式,可以用零点分段的方法除去绝对值符号:【例5】(1)解方程:|x-3|+|x+2|=6; (2)解不等式:|x-1|+|x+2|5. 解(1)零点为3,-2,分三段讨论. 当x3,方程为x-3+x+2=6,x=. 方程的解集为,. (2)零点为1,-2,分三段讨论. 当x-2,不等式为(1-x)-(x+2)-3, -3x-2; 当-2x1,不等式为(1-x)+(x+2)5,31,不等式为(x-1)+(x+2)5,x2, 1x2. 不等式的解集为x|-3x2.评析 所谓“零点”,即使绝对值为零的x的值.若有n个零
6、点,则分n+1个情况讨论.由于每种情况都可以去掉绝对值符号,就把含有绝对值的方程或不等式转化为普通的方程或不等式去解.在每一种情况求方程或不等式的解时,所求得的解必须满足相应的条件.上面的方法是解含有绝对值的问题的基本方法。这两题也可以从绝对值的几何意义直接得到它们的解.解(1)|x-3|+|x+2|=6,即求数轴上到3和-2的对应点距离和等于6的点所对应的数.由数轴知,3-(-2)=5,所以该点在3对应点的右边或在-2对应点左边个单位,即x=或x=-.解(2)|x-1|+|x+2|5,即求数轴上到1和-2对应点距离和小于5的点所对应数的范围.由数轴知,1-(-2)=3,所以x应满足-3x0(
7、0):的情况图象不等式不等式的解0ax2+bx+c0xx2ax2+bx+c0x1x0xx1ax2+bx+c0x0xRax2+bx+c0x对于含有等号的不等式或a0的情况,类似地可以由图像得出不等式的解,但习惯上解一元二次不等式时,常使二次项系数a0; (2)4+3x-x20; (3)1+x-x20; (4)1-2(x-1)20.解:(1)整理得 2x2+3x-20,方程2x2+3x-2=0的解是x1=-2,x2=, 原不等式的解集是x|-2x0,方程x2-3x-4=0的解是 x1=-1,x2=4. 原不等式的解集是x|x-1,或x4.(3)整理,得x2-x-1=0的解是 x1=,x2= 原不等式的解集是x|x(4)整理,得(x-1)2. x-1,或x-1-, 即x1+, 或x1-, 原不等式的解集是x|x1-,或x1+. 评析 (1)当二次不等式中x2的系数为负时,通常