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1、用心 爱心 专心 1 推理证明 复数 算法框图推理证明 复数 算法框图 考纲解读考纲解读 1 理解复数的基本概念 理解复数相等的充要条件 了解复数的代数表示法及其几何意义 2 会进行复数代数形式的四则运算 了解复数代数形式的加 减运算的几何意义 3 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 了解合情推理在数学发现中 的作用 4 了解演绎推理的重要性 掌握演绎推理的基本模式 并能运用它们进行一些简单推理 5 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 6 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解分析法和综合法的思考过程 特 点 7 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了解反证法的
2、思考过程 特点 理科理科 8 了解数学归纳法的原理 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 9 了解算法的含义 了解算法的思想 理解程序框图的三种基本逻辑结构 顺序 条件分支 循环 10 理解几种基本算法语句 输入语句 输出语句 赋值语句 条件语句 循环语句的含 义 考点预测考点预测 今年高考对本部分知识的命题主要有以下两个方面 1 复数与算法框图是历年高考的热点内容 考查方式主要在客观题中出现 一般只有一 个选择或填空 考查复数的基础知识 算法框图以循环结构为主 难度较低 2 推理证明也是高考的一个重点内容 考查方式多样 在客观题中主要考查合情推理中 的归纳与类比 证明题目多以解答题的一个分支
3、出现 常与数列 导数 不等式等知识结合 理科可能考查数学归纳法 难度较高 将继续强调考查逻辑推理 归纳等能力 要点梳理要点梳理 1 合情推理与演绎推理 合情推理包括归纳与类比 明确演绎推理的三个模式 大前提 小前提 结论 2 直接证明与间接证明 直接证明包括分析法 执果索因 与综合法 执因索果 常用的间接 证明方法是反证法 反证法主要用于证明唯一性与否定性命题 其主要步骤是否定结论 证明 得出矛盾 肯定结论 用心 爱心 专心 2 3 理科 数学归纳法 用来证明与自然数有关的等式 不等式 整除及几何等问题 证明 时 特别注意第二步 要弄清式子的构成规律 充分利用题目中的条件和假设 适当变形 4
4、复数 掌握复数的分类 复数相等 模 几何意义 复数的四则运算 考点在线考点在线 考点一考点一 推理推理 例例 1 1 2011 2011 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 7 7 观察下列各式 5 5 3125 6 5 15625 7 5 78125 则 2011 5的末四位数字为 A 3125 B 5625 C 0625 D 8125 答案答案 D 解析解析 观察发现幂指数是奇数的 结果后三位数字为 125 故排除 B C 选项 而 2011 53125 故 A 也不正确 所以选 D 名师点睛名师点睛 本题考查合情推理中的归纳推理 备考提示备考提示 推理分为合情推理与演绎推理 都是高考的重点
5、内容之一 必须熟练其模式 练习练习 1 20111 2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 15 15 设函数 0 2 x f xx x 观察 1 2 x f xf x x 21 34 x fxf f x x 32 78 x fxf fx x 43 1516 x fxf fx x 根据以上事实 由归纳推理可得 当nN 且2n 时 1 nn fxf fx 答案答案 21 2 nn x x 解析解析 观察知 四个等式等号右边的分母为2 34 78 1516xxxx 即 2 1 2 4 1 4 8 1 8 16 1 16xxxx 所以归纳出分母为 1 nn fxf fx 的 用心 爱心 专心 3
6、 分母为 21 2 nn x 故当nN 且2n 时 1 nn fxf fx 21 2 nn x x 考点二考点二 间接证明与直接证明间接证明与直接证明 例例 2 2 2011 2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 19 19 设1 1 xy 证明 111 xyxy xyxy 1abc 证明loglogloglogloglog abcbca bcaabc 证明 由于1 1xy 所以 要证明 111 xyxy xyxy 只要证明 2 1 xy xyyxxy 只要证明 2 1 0 xyxyxy xy 只要证明 1 1 0 xyxyxy 只要证明 1 1 1 0 xyxy 由于1 1xy 上式显
7、然成立 所以原命题成立 设logabx logbcy 由换底公式得 log1 log log b c b a a cxy 1 logba x 1 logcb y logacxy 故 要证 loglogloglogloglog abcbca bcaabc 只要证明 111 xyxy xyxy 其中log1 a xb log1 b yc 由 知所要证明的不等式成立 名师点睛名师点睛 本题考查不等式的基本性质 对数函数的性质和对数换底公式等基本知识 考 查代数式恒定变形能力和推理论证能力 用的分析法证明的 第二问的处理很有艺术性 借 助第一问题的结论巧妙地解决了 这也是一题多问的问题解决常规思路 前
8、面的问题结论对 后面问题解决常常有提示作用 备考提示备考提示 证明不等式常规的方法有分析法 综合法 作差法和作商法 无论哪种方法 用心 爱心 专心 4 不等式性质和代数式恒定变形是处理这类问题的关键 练习练习 2 20112 2011 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 20 20 设0 b 数列 n a满足 1 1 1 2 22 n n n nba ab an an 1 求数列 n a的通项公式 2 证明 对于一切正整数 n 1 1 1 2 n n n b a 解析解析 1 由 1 1 11 121 0 0 22 n n nnn nbann aba anabb a 知 令 1 1 n n n
9、AA ab 当 1 12 2 nn nAA bb 时 21 1 211 1222 nn nn A bbbb 21 21 1222 nn nn bbbb 当2b 时 12 1 2 2 2 1 n nn n n bbb A bb b 当2 2 n n bA 时 2 2 2 2 2 n nn n nbb b a b b 2 当2b 时 欲证 11 11 2 2 1 1 2222 nnnnn n n nnnn nbbbbb anb bb 只需证 1111121 2 2 2 22 2 nn nnnnnnn b bbbb b 1122222111 22222 nnnnnnnnn bbbbb 21 21 2
10、22 2 222 nnn nn nnn bbb b bbb 用心 爱心 专心 5 1 2 222 222 nnnnnn bnbnb 1 1 2 1 22 nn n nnn nbbb a b 当 1 1 2 21 2 n n n b ba 时 综上所述 1 1 1 2 n n n b a 理科理科 考点三考点三 数学归纳法数学归纳法 例例 3 20113 2011 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 22 22 已知函数 3 xxf xxxg 求函数 xgxfxh 的零点个数 并说明理由 设数列 Nnan 满足 0 11nn agafaaa 证明 存在常数 M 使得对于任意的 Nn 都有 Man
11、解析解析 由 xxxxh 3 知 0 x 而 00 h且 011 h 0262 h 则0 x为 xh的一个零点 且 xh在 2 1内由零点 因此 xh至少有两个零点 由 2 1 2 1xxxxh 记 1 2 1 2 xxx 则 2 1 2 2 3 xxx 当 0 x时 0 x 因此 x 在 0上单调递增 则 x 在 0上至多有一个零点 从而 xh在 0上至多有一个零点 综上所述 xh有且只有两个零点 记 xh的正零点为 0 x 即 00 3 0 xxx 1 当 0 xa 时 由aa 1 得 01 xa 而 3 00011 2 2 xxxaaa 因此 02 xa 由此猜测 0 xan 下面用数学
12、归纳法证明 当1 n时 01 xa 显然成立 用心 爱心 专心 6 假设当 1 kkn时 0 xak 成立 则当1 kn时 由 3 000 3 1 xxxaaa kkk 知 01 xak 因此 当1 kn时 01 xak 成立 故对任意的 Nn 0 xan 成立 2 当 0 xa 时 由 知 xh在 0 x上单调递增 则 0 0 xhah 即aaa 3 从而 3 11 2 2 aaaaaa 即aa 2 由此猜测 aan 下面用数学归纳法证明 当1 n时 aa 1 显然成立 假设当 1 kkn时 aak 成立 则当1 kn时 由 3 3 1 aaaaaa kkk 知aak 1 因此 当1 kn时
13、 aak 1 成立 故对任意的 Nn aan 成立 综上所述 存在常数 max 0a xM 使得对于任意的 Nn 都有 Man 名师点睛名师点睛 本大题综合考查函数与导数 数列 不等式等数学知识和方法以及数学归纳法 放缩法等证明方法的灵活运用 突出考查综合运用数学知识和方法分析问题 解决问题的能 力 备考提示备考提示 数学归纳法是理科考查的内容之一 要熟练其证明模式 特别是在步骤以及 容易出错的地方加以注意 练习练习 3 3 20102010 年高考江苏卷试题年高考江苏卷试题 2323 已知 ABC 的三边长都是有理数 1 求证 cosA 是有理数 2 求证 对任意正整数 n cosnA 是有
14、理数 解析解析 方法一 1 证明 设三边长分别为 a b c 222 cos 2 bca A bc a b c是有理 数 222 bca 是有理数 分母2bc为正有理数 又有理数集对于除法的具有封闭性 222 2 bca bc 必为有理数 cosA 是有理数 2 当1n 时 显然 cosA 是有理数 用心 爱心 专心 7 当2n 时 2 cos22cos1AA 因为 cosA 是有理数 cos2A也是有理数 假设当 2 nk k 时 结论成立 即 coskA cos 1 kA 均是有理数 当1nk 时 cos 1 coscossinsinkAkAAkAA 1 cos 1 coscos cos
15、cos 2 kAkAAkAAkAA 11 cos 1 coscoscos 1 cos 1 22 kAkAAkAkA 解得 cos 1 2coscoscos 1 kAkAAkA cosA coskA cos 1 kA 均是有理数 2coscoscos 1 kAAkA 是有理数 cos 1 kA 是有理数 即当1nk 时 结论成立 综上所述 对于任意正整数 n cosnA 是有理数 方法二 证明 1 由 AB BC AC 为有理数及余弦定理知 222 cos 2 ABACBC A AB AC 是有理数 2 用数学归纳法证明 cosnA 和sinsinAnA 都是有理数 当1n 时 由 1 知cos
16、 A是有理数 从而有 2 sinsin1 cosAAA 也是有理数 假设当 1 nk k 时 coskA和sinsinAkA 都是有理数 当1nk 时 由cos 1 coscossinsinkAAkAAkA sinsin 1 sin sincoscossin sinsin cos sinsin cosAkAAAkAAkAAAkAAkAA 及 和归纳假设 知cos 1 kA 和sinsin 1 AkA 都是有理数 即当1nk 时 结论成立 综合 可知 对任意正整数 n cosnA 是有理数 考点四考点四 复数复数 例例 4 4 2011 2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 1 1 设 i是虚数单位 复数 ai i 为纯虚数 则实数 a 为 A 2 B 2 C D 答案答案 A 用心 爱心 专心 8 解析解析 设 ai bi bR i 则1 2 2aibiibbi 所以1 2ba 故选 A 名师点睛名师点睛 本题考查复数的基本运算 属简单题 备考提示备考提示 复数是高考的热点内容 年年必考 以选择或填空题的形式出现 主要考查 复数的概念 复数相等 几何意义以及复数的四则运算 熟练基
