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1、专题四综合测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1函数f(x)lgsin的一个增区间为()A.B.C. D.解析:由sin0,得sin0,2k2x22k,kZ;又f(x)lgsin的增区间即sin在定义域内的增区间,即sin在定义域内的减区间,故2k2x2k,kZ.化简得kxk,kZ,当k0时,x0)的最小正周期为1,则它的图象的一个对称中心为()A(,0) B(,0)C. D(0,0)解析:f(x)2sin(a0),T1,a2,f(x)2sin,由2xk,kZ,得x,kZ,当k1时,x,故是
2、其一个对称中心,故选C.答案:C3已知函数f(x)asinxacosx(a0)的定义域为0,最大值为4,则a的值为()A B2C D4解析:f(x)asinxacosxasin,当x0,时,x,sin,由于a0,0,0b,AB,B45.故选C.答案:C6在ABC中,cos2(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则ABC的形状为()A正三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析:cos2,1,化简得a2b2c2,故ABC是直角三角形故选B.答案:B7在ABC中,若角A,B,C成公差大于0的等差数列,则cos2Acos2C的最大值为()A. B.C2 D不存在解析:角A,B,
3、C成等差数列,AC2B,又ABC180,B60,AC120.cos2Acos2C1(cos2Acos2C)1cos(2402C)cos2C1cos(2C60)60C120,1802C60300,1cos(2C60),即cos2Acos2C的最大值不存在,故选D.答案:D8关于x的方程cos2xsin2x2k在内有两个不同的实数解,则k的取值范围是()A.B.C. D.解析:由cos2xsin2x2k,得k(cos2xsin2x)sin,当x时,2x,sin.数形结合可知,当k时,方程有两个不同的实数解故选A.答案:A9在梯形ABCD中,ABCD,且|AB|DC|,设a,b,则()Aab Bab
4、C.ab Dab解析:bba.故选C.答案:C10设a,b,若ab,则锐角为()A30 B45C60 D75解析:ab,sincos0,即sin21,由于为锐角,故020,0,点P满足,则点P是ABC的()A外心 B内心C垂心 D重心解析:,即,而与分别是与方向上的单位向量,故的方向与BAC的平分线的方向相同,又0,故与BAC的平分线的方向相同,所以点P在BAC的平分线上同理,点P在ABC的平分线上,故点P是ABC的内心选B.答案:B二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,将答案填在题中的横线上13(2011福建)如图,ABC中,ABAC2,BC2,点D在BC边上,ADC45,则AD
5、的长度等于_解析:在ABC中,cosC,C30,由,ADsinC.答案:14(2011安徽)已知ABC的一个内角为120,并且三边长构成公差为4的等差数列,则ABC的面积为_解析:设三边长为a,a4,a8,则120角所对边长为a8,由余弦定理得(a8)2a2(a4)22a(a4)cos120,化简得a22a240,解得a6或a4(舍去)三角形面积Sa(a4)sin12015.答案:1515(2011课标)在ABC中,B60,AC,则AB2BC的最大值为_解析:由正弦定理,2,得AB2sinC,BC2sinA,则AB2BC2sinC4sinA2sin(18060A)4sinAcosA5sinA2
6、sin(A),其中tan(为锐角),故当A时,AB2BC取最大值2.答案:216(2011上海)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C,若CAB75,CBA60,则A、C两点之间的距离为_千米解析:如图,C180756045.由正弦定理,.得AC.答案:三、解答题:本大题共6小题,共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)(2011山东)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.(1)求的值;(2)若cosB,b2,求ABC的面积S.解:(1)由正弦定理,设k,则.所以即(cosA2cosC)sinB(2sinCsinA)cosB,化简可得sin(AB
7、)2sin(BC)又ABC,所以sinC2sinA.因此2.(2)由2得c2a.由余弦定理b2a2c22accosB及cosB,b2,得4a24a24a2解得a1,从而c2又因为cosB,且0B,所以sinB.因此SacsinB12.18(本小题满分12分)(2011全国)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知AC90,acb,求C.解:由AC90,得A为钝角且sinAcosC,利用正弦定理,acb变形为sinAsinCsinB,即有sinAsinCcosCsinCsinsinB,又A,B,C是ABC的内角,故CB,所以ABCCC.19(本小题满分12分)(2011江苏)在ABC中
8、,角A、B、C的对边分别为a,b,c.(1)若sin2cosA,求A的值;(2)cosA,b3c,求sinC的值解:(1)由题设知sinAcoscosAsin2cosA,从而sinAcosA,所以cosA0,tanA.因为0A,所以A.(2)由cosA,b3c及a2b2c22bccosA,得a2b2c2.故ABC是直角三角形,且B.所以sinCcosA.20(本小题满分12分)(2011浙江)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sinAsinCpsinB(pR),且acb2.(1)当p,b1时,求a,c的值;(2)若角B为锐角,求p的取值范围解:(1)由题设并利用正弦定理,得
9、解得或(2)由余弦定理,b2a2c22accosB(ac)22ac2accosBp2b2b2b2cosB,即p2cosB.因为0cosB0,所以p0,得,即C,由sinC,得cosC,由a2b24(ab)8,得(a2)2(b2)20,得a2,b2,由余弦定理得c2a2b22abcosC82,所以c1.22(本小题满分14分)(2011黑龙江省哈六中一模)攀岩运动是一项刺激而危险的运动,如图(1)在某次攀岩活动中,两名运动员在如图所示位置,为确保运动员的安全,地面救援者应时刻注意两人离地面的距离,以备发生危险时进行及时救援为了方便测量和计算,现如图(2)A,C分别为两名攀岩者所在位置,B为山的拐角处,且斜坡AB的坡角为,D为山脚,某人在E处测得A,B,C的仰角分别为,EDa.(1)求:BD间的距离及CD间的距离;(2)求证:在A处攀岩者距地面的距离h.解:(1)根据题意得CED,BED,AED.在直角三角形CED中, tan,CDatan,在直角三角形BED中,tan,BDatan.(2)证明:易得AE,BE,在ABE中,AEB,EAB(),正弦定理,代入整理:h.- 10 -用心 爱心 专心