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1、课时训练9 函数的单调性【说明】本试卷满分100分,考试时间90分钟.一、选择题(每小题6分,共42分)1.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( )A.y=-x+1 B.y=C.y=x2-4x+5 D.y=答案:B解析:A、C、D函数在(0,2)均为减函数.2.设函数f(x)在(-,+)上是减函数,则下列不等式正确的是( )A.f(2a)f(a) B.f(a2)f(a)C.f(a2+a)f(a) D.f(a2+1)0,a2+1a.又f(x)在R上递减,故f(a2+1) B.k- D.k-答案:D解析:2k+10k-.4.函数f(x)=在区间(-2,+)上为增函数,那么实数a的取值范围为
2、( )A.0a B.aC.a D.a-2答案:C解析:f(x)=a+在(-2,+)递增,1-2a.5.(2010四川成都一模,4)已知f(x)是R上的增函数,若令F(x)=f(1-x)-f(1+x),则F(x)是R上的( )A.增函数 B.减函数C.先减后增的函数 D.先增后减的函数答案:B解析:取f(x)=x,则F(x)=(1-x)-(1+x)=-2x为减函数,选B.6.已知f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,且f(x)在0,+)上是减函数,则下列关系式中正确的是( )A.f(5)f(-5) B.f(4)f(3) C.f(-2)f(2) D.f(-8)f(8)答案:C解析:f(x)为奇函数
3、,f(0)=0,f(2)0,即f(-2)f(2).7.(2010全国大联考,5)下列函数:(1)y=x2;(2)y=;(3)y=2x;(4)y=log2x.其中不是偶函数且在区间(0,+)上也不是减函数的有( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个答案:D解析:(1)是偶函数,(2)(3)(4)都不是偶函数且在(0,+)上递增,故满足条件.二、填空题(每小题5分,共15分)8.函数y=的递减区间是_.答案:2,+解析:y=()t单调递减,t=x2-4x+5在2,+)上递增,递减区间为2,+).9.若函数f(x)是定义在(0,+)上的增函数,则不等式f(x)f(8x-16)的解集为_.答案:(
4、2,)解析:10.已知函数f(x)满足:对任意实数x1,x2,当x1f(x2),且f(x1+x2)=f(x1)f(x2),则f(x)=_(请写出一个满足这些条件的函数即可).答案:ax(0a0).(1)求函数在(0,+)上的单调区间,并证明之;(2)若函数f(x)在a-2,+上递增,求a的取值范围.解析:(1)f(x)在(0,+)上的增区间为,+,减区间为(0,).证明:f(x)=1-,当x,+时,f(x)0,当x(0,)时,f(x)0.即f(x)在+上单调递增,在(0,)上单调递减.(或者用定义证)(2)a-2,+为,+的子区间,所以a-2a-20(+1)( -2)0-20a4.12.(20
5、10湖北黄冈中学模拟,19)已知定义域为0,1的函数f(x)同时满足:对于任意的x0,1,总有f(x)0;f(1)=1;若x10,x20,x1+x21,则有f(x1+x2)f(x1)+f(x2).(1)求f(0)的值;(2)求f(x)的最大值.解析:(1)对于条件,令x1=x2=0得f(0)0,又由条件知f(0)0,故f(0)=0.(2)设0x1b0)上是减函数且f(-b)0,判断F(x)=f(x)2在b,a上的单调性并证明你的结论.解析:设bx1-x2-a.f(x)在-a,-b上是减函数,0f(-b)f(-x1)f(-x2)f(-a),f(x)是奇函数,0-f(x1)-f(x2),则f(x2
6、)f(x1)0,f(x1)2f(x2)2,即F(x1)F(x2).F(x)在b,a上为增函数.14.已知函数f(x)=(-1)2+(-1)2的定义域为m,n)且1mn2.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)证明:对任意x1、x2m,n,不等式|f(x1)-f(x2)|1恒成立.(1)解析:解法一:f(x)=(-1)2+(-1)2=+2,f(x)=(x4-m2n2-mx3+m2nx)=(x2-mx+mn)(x+)(x-).1mx0,x2-mx+mn=x(x-m)+mn0,x+0.令f(x)=0,得x=,当xm,时,f(x)0.f(x)在m,内为减函数,在,n)为内增函数.解法二:由题设可得f(
7、x)=(-1)2-+1.令t=.1m2.令t=0,得x=.当xm,t0.t=在m,内是减函数,在,n内是增函数.函数y=(t-1)2-+1在1,+上是增函数,函数f(x)在m, 内是减函数,在,n内是增函数.(2)证明:由(1)可知,f(x)在m,n上的最小值为f()=2(-1)2,最大值为f(m)=(-1)2.对任意x1、x2m,n,|f(x1)-f(x2)|(-1)2-2(-1)2=()2-4+4-1.令u=,h(u)=u4-4u2+4u-1.1mn2,12,即10,h(u)在(1,)上是增函数.h(u)h()=4-8+4-1=4-51.不等式|f(x1)-f(x2)|1恒成立.4用心 爱心 专心