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1、导数及其应用乐清中学 叶乐琴【知能目标】1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。2、熟记基本导数公式：xm(m为有理数)、sinx、cosx、ex、ax、lnx、logax的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。【综合脉络】1.知识网络导数的实际背景导数定义导数的几何意义 导函数四则运算
2、求导法则复合函数求导法则基本求导公式求简单函数的导数导数的应用求函数的最大(小)值求函数的极大(小)值判断函数的单调性2.考点综述有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程
3、内容和传统内容相结合，加强了能力考察力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的。【例题探究】例1 (2003年烟台统考)已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是 。【考查目的】考查导数的运算及利用导数知识求函数的极值等基本知识和分析问题、解决问题的能力。解：f(x)=3x2+6ax+3a+6，令f(x)=0，则x2+2ax+a+2=0 又f(x)既有极大值又有极小值 f(x)=0必有两解，即=4a2-4a-80 解得a-1或a2。探究：本题通过求函数的导数，将函数问
4、题转化为一元二次方程来探究，充分体现了函数与方程相互转化的解题思想与解题策略。【启迪迁移】已知f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1，试讨论函数y=f(x)的单调性提示：按分O，=O，O三种情况分别就a的不同取值进行讨论。例2 设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、dR)的图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值-。(1)求a、b、c、d的值；(2)当x-1,1时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；(3)若x1,x2-1,1时，求证：|f(x1)-f(x2)|。【考查目的】本题主要考查导数的几何意义、导数的基本性质和应用、绝对值不等
5、式以及综合推理能力。解(1) 函数f(x)图象关于原点对称，对任意实数x，都有f(-x)=- f(x).-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立.b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx. f(x)=3ax2+c.x=1时,f(x)取极小值-. f(1)=0且f(1)=- ,即3a+c=0且a+c=-. 解得a=,c=-1.(2)证明：当x-1,1时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在两点A(x1,y1)、B(x2+y2)，使得过这两点的切线互相垂直，则由f(x)=x2-1，知两点处的切线斜率分别为k1=x12-1,k2=x22-1
6、,且(x12-1)(x22-1)=-1. (*)x1、x2-1,1, x12-10，x22-10(x12-1)(x22-1)0，这与(*)相矛盾，故假设不成立.(3)证明：f(x)=x2-1,由f(x)=0,得x=1.当x(-，-1)或（1，+）时，f(x)0; 当 x(-1，1)时，f(x)0.f(x)在-1,1上是减函数，且fmax(x)=f(-1)= , fmin(x)=f(1)= -.在-1,1上，|f(x)|.于是x1,x2-1,1时，|f(x1)-f(x2)|f(x1)|+|f(x2)|+=.故x1,x2-1,1时,|f(x1)-f(x2)|.探究：若x0点是y=f(x)的极值点，
7、则f(x0)=0,反之不一定成立；在讨论存在性问题时常用反证法；利用导数得到y=f(x)在-1,1上递减是解第(3)问的关键.例3 已知平面向量=(,-1).=(,).(1)证明；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2-3) ，=-k+t，试求函数关系式k=f(t)；(3)据(2)的结论，讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.【考查目的】本题考查向量的性质与计算、函数的导数与函数的图象、函数的图象与方程根的个数间的关系以及综合应用能力。解(1)=+(-1)=0 .(2)，=0 即+(t2-3) (-k+t)=0.整理后得-k+t-k(t2-3) + (t2-3)=0=0，=4，
8、=1，上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)(3)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= t(t2-3)与直线y=k的交点个数.于是f(t)= (t2-1)= t(t+1)(t-1).令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f(t)、f(t)的变化情况如下表：t(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ )f(t)+0-0+F(t)极大值极小值当t=-1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=.当t=-1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=-.函数f(t)=t(t2-3)的图象如图1321所示，可观察出：(1)当k或k-时,方程f(t)-k
9、=0有且只有一解；(2)当k=或k=-时,方程f(t)-k=0有两解；(3) 当-k时,方程f(t)-k=0有三解.探究：导数的应用为函数的作图提供了新途径。例4 (2004全国卷22)已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0ab,证明：0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.【考查目的】本题主要考查导数的基本性质和应用，对数函数性质和平均值不等式知识以及综合推理论证的能力。解：(1)函数f(x)的定义域为(-1，+)，f(x)=-1. 令f(x)=0，解得x=0.当-1x0时，f(x)0; 当x0时， f(x)0.又f(0)=
10、0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值,最大值为0.（2）证法一：g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=aln由（1）结论知ln(1+x)-x-1，且x0)由题设0ab，得因此，.又，.综上 .证法二：.设，则.当0xa时，因此F(x)在上为增函数.从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a). 即.设，则当x0时，因此上为减函数。即，综上，原不等式得证。【启迪迁移】 1证明：当x0时，有2（2004温州市一模21）已知数列an各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的nN*，都有4Sn=(an+1)2(1)求数列an的通项公式；(2)若2ntSn对于任意的nN*
11、成立，求实数t的最大值。分析：利用Sn-Sn-1=an(n2)易得an=2n-1，从而Sn=n2则问（2）转化为t恒成立，故只需求出数列的最小项，有以下求法：法一：研究数列bn的单调性。法二：数列作为一类特殊的函数，欲求的最小项可先研究连续函数的单调性，求导得，易得为函数的极小值也是最小值点，又，所以而，故（注：不能直接对求导，为什么？）探究：导数的引进为不等式的证明，甚至为研究数列的性质提供了新途径，充分地体现了数列作为一类特殊函数其本质所在。特别提示：例2、例3、例4充分体现了导数作为工具分析和解决一些如函数性质、方程、不等式、数列等问题的方法，这类问题用传统教材无法解决；此外，例4还说明
12、了一点：欲用导数，得先构造函数。例5 已知双曲线与点M（1，1），如图所示.（1）求证：过点M可作两条直线，分别与双曲线C两支相切；（2）设（1）中的两切点分别为A、B，其MAB是正三角形，求m的值及切点坐标。【考查目的】本题考查导数的几何意义在解析几何综合问题中的特殊作用，使代数与几何实现了和谐的勾通。（1）证明：设，要证命题成立只需要证明关于t的方程有两个符号相反的实根。 ，且t0，t1。设方程的两根分别为t1与t2，则由t1t2=m0，知t1，t2是符号相反的实数，且t1，t2均不等于0与1，命题获证。（2）设，由（1）知，t1+t2=2m，t1t2=m，从而，即线段AB的中点在直线上。
13、又，AB与直线垂直。故A与B关于对称， 设，则有t2-2mt+m=0 由及夹角公式知，即 由得 从而由知，代入知因此，。探究：求切线方程的常见方法有：1、数刑结合。2、将直线方程代入曲线方程利用判别式。3、利用导数的几何意义。小结：深刻理解导数作为一类特殊函数，其几何意义所在，熟练掌握利用导数求函数的极值、单调区间、函数在闭区间上的最值等基本方法；导数的应用为研究函数性质、函数图象开辟了新的途径，成为勾通函数与数列、圆锥曲线等问题的一座桥梁；此外，导数还具有方法程序化，易掌握的显著特点。实 战 演 练一、选择题1函数，则等于 （ D ） A B C D 2设，则（0）为 （ B ）A 0 B 1 C -1 D 不存在3已知曲线，这三条曲线与x=1的交点分别为A、B、C，又设k1、k2、k3分别为经过A、B、C且分别与这三条曲线相切的直线的斜率，则 （ D ） A k1k2k3 B k3k2k1 C k1k3k2 D k3k10，函数在上是单调增函数，则a的最大值是（ D ） A 0 B 1 C 2 D 35已知（m为常数），在
