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1、第3讲导数的应用(二)【2013年高考会这样考】1利用导数求函数的极值2利用导数求函数闭区间上的最值3利用导数解决某些实际问题【复习指导】本讲复习时,应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用,会将一些实际问题抽象为数学模型,从而用导数去解决复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用.基础梳理1函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x);求方程f(x)0的根;检查f(x)在
2、方程f(x)0的根左右值的符号如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值,如果左右两侧符号一样,那么这个根不是极值点2函数的最值(1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤如下:求f(x)在(a,b)内的极值;将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,
3、其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值3利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x);(2)求函数的导数f(x),解方程f(x)0;(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;(4)回归实际问题作答两个注意(1)注意实际问题中函数定义域的确定(2)在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较三个防范(1)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论;另外注
4、意函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念(2)f(x0)0是yf(x)在xx0取极值的既不充分也不必要条件如y|x|在x0处取得极小值,但在x0处不可导;f(x)x3,f(0)0,但x0不是f(x)x3的极值点(3)若yf(x)可导,则f(x0)0是f(x)在xx0处取极值的必要条件双基自测1(2011福建)若a0,b0,且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值,则ab的最大值等于()A2 B3 C6 D9解析f(x)12x22ax2b,由函数f(x)在x1处有极值,可知函数f(x)在x1处的导数值为零,122a2b0,所以ab6,由题意知a,b都是正实数,所以ab229,当
5、且仅当ab3时取到等号答案D2已知函数f(x)x4x32x2,则f(x)()A有极大值,无极小值 B有极大值,有极小值C有极小值,无极大值 D无极小值,无极大值解析f(x)x34x24xx(x2)2f(x),f(x)随x变化情况如下x(,0)0(0,2)2(2,)f(x)00f(x)0因此有极小值无极大值答案C3(2010山东)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为yx381x234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件 C9万件 D7万件解析yx281,令y0解得x9(9舍去)当0x9时,y0;当x9时,y0,则当x9时,y取
6、得最大值,故选C.答案C4(2011广东)函数f(x)x33x21在x_处取得极小值解析f(x)3x26x3x(x2)当x0时,f(x)0,当0x2时,f(x)0,当x2时,f(x)0,故当x2时取得极小值答案25若函数f(x)在x1处取极值,则a_.解析f(x)在x1处取极值,f(1)0,又f(x),f(1)0,即21(11)(1a)0,故a3.答案3考向一函数的极值与导数【例1】(2011重庆)设f(x)2x3ax2bx1的导数为f(x),若函数yf(x)的图象关于直线x对称,且f(1)0.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的极值审题视点 由条件x为yf(x)图象的对称轴及f(1
7、)0求得a,b的值,再由f(x)的符号求其极值解(1)因f(x)2x3ax2bx1,故f(x)6x22axb.从而f(x)62b,即yf(x)的图象关于直线x对称,从而由题设条件知,解得a3.又由于f(1)0,即62ab0,解得b12.(2)由(1)知f(x)2x33x212x1,f(x)6x26x126(x1)(x2)令f(x)0,即6(x1)(x2)0,解得x12,x21.当x(,2)时,f(x)0,故f(x)在(,2)上为增函数;当x(2,1)时,f(x)0,故f(x)在(2,1)上为减函数;当x(1,)时,f(x)0,故f(x)在(1,)上为增函数从而函数f(x)在x12处取得极大值f
8、(2)21,在x21处取得极小值f(1)6. 运用导数求可导函数yf(x)的极值的步骤:(1)先求函数的定义域,再求函数yf(x)的导数f(x);(2)求方程f(x)0的根;(3)检查f(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值【训练1】 (2011安徽)设f(x),其中a为正实数(1)当a时,求f(x)的极值点;(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围解对f(x)求导得f(x)ex.(1)当a时,若f(x)0,则4x28x30,解得x1,x2.综合,可知xf(x)00f(x)极大值极小值所以,x1是极
9、小值点,x2是极大值点(2)若f(x)为R上的单调函数,则f(x)在R上不变号,结合与条件a0,知ax22ax10在R上恒成立因此4a24a4a(a1)0,由此并结合a0,知0a1.考向二函数的最值与导数【例2】已知a为实数,且函数f(x)(x24)(xa)(1)求导函数f(x);(2)若f(1)0,求函数f(x)在2,2上的最大值、最小值审题视点 先化简再求导,求极值、端点值,进行比较得最值解(1)f(x)x3ax24x4a,得f(x)3x22ax4.(2)因为f(1)0,所以a,有f(x)x3x24x2,所以f(x)3x2x4.令f(x)0,所以x或x1.又f,f(1),f(2)0,f(2
10、)0,所以f(x)在2,2上的最大值、最小值分别为、. 一般地,在闭区间a,b上的连续函数f(x)必有最大值与最小值,在开区间(a,b)内的连续函数不一定有最大值与最小值,若函数yf(x)在闭区间a,b上单调递增,则f(a)是最小值,f(b)是最大值;反之,则f(a)是最大值,f(b)是最小值【训练2】 函数f(x)x3ax2b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3xy0平行(1)求a,b;(2)求函数f(x)在0,t(t0)内的最大值和最小值解(1)f(x)3x22ax由已知条件即解得(2)由(1)知f(x)x33x22,f(x)3x26x3x(x2),f(x)与f(x)随x变化情况如下:x
11、(,0)0(0,2)2(2,)f(x)00f(x)22由f(x)f(0)解得x0,或x3因此根据f(x)的图象当0t2时,f(x)的最大值为f(0)2最小值为f(t)t33t22;当23时,f(x)的最大值为f(t)t33t22,最小值为f(2)2.考向三用导数解决生活中的优化问题【例3】(2011江苏)请你设计一个包装盒如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E、F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)(1)若广告商
12、要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值审题视点 由实际问题抽象出函数模型,利用导数求函数最优解,注意变量的实际意义解设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm)由已知得ax,h(30x),0x30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800,所以当x15时,S取得最大值(2)Va2h2(x330x2),V6x(20x)由V0得x0(舍去)或x20.当x(0,20)时,V0;当x(20,30)时,V0.所以当x20时,V取得极大值,也是最大值此时.即包装盒的高与底面边长的比
13、值为. 在求实际问题中的最大值或最小值时,一般先设自变量、因变量、建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合,用导数求解实际问题中的最大(小)值,如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值点就是最值点【训练3】 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中,每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:yx3x8(0x120)已知甲、乙两地相距100千米(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?解(1)设汽车以x千米/小时的速度行驶时,其耗油量为f(x) (0x120)f(40)17.5(升)因此从甲地到乙地要耗油17.5升(2