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1、第8讲函数与方程【2013年高考会这样考】1考查具体函数的零点的取值范围和零点个数2利用函数零点求解参数的取值范围3利用二分法求方程的近似解【复习指导】(1)准确理解函数零点的概念，方程的根、函数与x轴的交点，三者之间的区别与联系，能够实现彼此之间的灵活转化，并能利用特殊点的函数值，根据零点存在性定理来判断函数零点所在的区间；(2)灵活运用函数图象，将函数零点转化为两个函数图象的交点，注重数形结合思想的应用基础梳理1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf
2、(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根2二次函数yax2bxc(a0)零点的分布根的分布(mnp为常数)图象满足条件x1x2mmx1x2x1mx2f(m)0mx1x2nmx1nx2p只有一根在(m，n)之间或f(m)f(n) 03.二分法求方程的近似解(1)二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间
3、的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；求区间(a，b)的中点c；计算f(c)；()若f(c)0，则c就是函数的零点；()若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；()若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)判断是否达到精确度.即：若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复.一个口诀用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看同号去，异号算，零点落在异号间周而复始怎么办？精确度上来判断 两个防范(1)函数yf(
4、x)的零点即方程f(x)0的实根，是数不是点(2)若函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点如图，f(a)f(b)0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要三种方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少
5、个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点双基自测1(2011福建)若关于x的方程x2mx10有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A(1,1)B(2,2)C(，2)(2，)D(，1)(1，)解析由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式0，即m240，解得m2或m2，故选C.答案C2若函数yf(x)在R上递增，则函数yf(x)的零点()A至少有一个 B至多有一个 C有且只有一个 D可能有无数个答案B3如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()A B C D答案B4(20
6、11新课标全国)在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A. B.C. D.解析因为fe43e20，fe43e10，所以f(x)ex4x3的零点所在的区间为.答案C5(人教A版教材习题改编)已知函数f(x)x2xa在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是_解析函数f(x)x2xa在(0,1)上递增由已知条件f(0)f(1)0，即a(a2)0，解得2a2.(2)由已知条件解得2a.(3)由已知条件f(2)2.(4)由已知条件f(1)f(3)0解得a3.检验：当f(3)0，a时，方程的两解为x，x3，当f(1)0，即a3时，方程的两解为x1，x5，可知a3.当a2.即a2时
7、f(x)x24x4(x2)2方程的解x1x22a2，综上有a2或a0，其中e表示自然对数的底数)(1)若g(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定t的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根分析：(1)可结合图象也可解方程求之(2)利用图象求解审题视点 画出函数图象，利用数形结合法求函数范围解(1)法一 g(x)x22e，等号成立的条件是xe.故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，则g(x)m就有零点法二作出g(x)x的图象如图：可知若使g(x)m有零点，则只需m2e.法三解方程由g(x)m，得x2mxe20.此方程有大于零的根，故等价于，故m2e.(2)若g(x)f(x)0有两
8、个相异的实根，即g(x)f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)x(x0)的图象f(x)x22ext1(xe)2t1e2.其对称轴为xe，开口向下，最大值为t1e2.故当t1e22e，即te22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根t的取值范围是(e22e1，) 此类利用零点求参数的范围的问题，可利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图象求解，使得问题简单明了，这也体现了，当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求参数的范围，一般采用数形结合法求解【训练3】 已知函数f(x)ax32ax3a4在区间(1,1)上有
9、一个零点(1)求实数a的取值范围；(2)若a，用二分法求方程f(x)0在区间(1,1)上的根解(1)若a0，则f(x)4与题意不符，a0，f(1)f(1)8(a1)(a2)0，1a2.(2)若a，则f(x)x3x，f(1)0，f(1)0，f(0)0，零点在(0,1)上，又f0，f(x)0的根为.难点突破6如何利用图象求解函数零点问题数形结合是重要的思想方法之一，也是高考考查的热点问题，利用函数图象判断方程是否有解，有多少个解是常见常考的题型，数形结合法是求函数零点个数的有效方法，其基本思路是把函数分成两个函数的差，分析的基本思想是分析后的函数图象比较容易做出，则函数零点个数就是两函数图象交点的个数一、判定函数零点的个数【示例】 (2011陕西)函数f(x)cos x在0，)内()A没有零点 B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点二、判断零点的范围【示例】 (2011山东)已知函数f(x)logaxxb(a0，且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.9
