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1、2006年上海十大名校联合考试数学试卷一、填空题：（本大题满分48分）本大题共有12题，要求直接写出结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分。1 若集合，则= 。2已知是偶函数，定义域为，则= 。3函数的反函数是 。4函数的最小正周期是 。5函数的对称中心是 。6已知等差数列的公差，且a1,a3,a9成等比数列，则= ；7 在实数集R上定义运算：xy=x(1-y.),若(x-a)(x+a)1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是 。8已知直线，为使这条直线不经过第二象限，则实数的范围是 。9在000，001，999,这1000个连号的自然数中抽奖，若抽到一个号码中，仅出现两个相同偶数则中奖，
2、则一个号码能中奖的概率是 。10ABC的两条边上的高的交点为H，外接圆的圆心为O，则实数m= 。11如图，在ABC中BC=2，AB+AC=3，中线AD的长为y，若AB的长为x，则y与x函数关系式为 。 第11题图12若，则 。二、 选择题：（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内)，一律得零分13设A、B是锐角三角形的两个内角，则复数对应点位于复平面的（ ）。A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限14直线绕原点
3、逆时针方向旋转300后，所得直线与圆的位置关系是（ ）。A直线过圆心 B直线与圆相交，但不过圆心 C直线与圆相切 D直线与圆没有公共点15如图，OA是双曲线实半轴，OB是虚半轴，F是焦点，且，则双曲线的方程是（ ）y B O A F x 第15题图A B C D16在ABC中，则C等于（ ）A300B1500C300或1500D600或1200三、解答题：（本大题满分86分）本大题共6题，解答各题必须写出必要的步骤。17.（本题满分12分）已知xR,zC,x,z满足。（1） 若z在复平面内对应的点Z在第一象限，求x的范围；（2） 是否存在这样x,使成立。18.（本题满分12分，第（1）6分，第
4、（2）6分）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座“观景花坛”，造价为4200元m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2,再在四个空角（如DQH等）上铺草坪，造价为80元/m2。（1） 设总造价为S元，AD长为xm,试建立S与x的函数关系；（2） 当x为何值时，S最小？并求这个最小值。 第18题图19. （本题满分14分，第（1）小题6分，（2）小题8分）设是上的奇函数，对任意实数x,都有，当时，。（1） 试证：是函数的一条对称轴；（2） 证明函
5、数是以4为周期的函数，并求时，的解析式。20. （本题满分14分，第（1）小题6分，（2）小题8分）在平面直角坐标系中，若，且。（1） 求动点的轨迹C的方程；（2） 过点（0，3）作直线与曲线C交于A、B两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线的方程，不存在，说明理由。21. （本题满分16分，其中第（1）小题8分，第（2）小题8分）已知存在实数（其中）使得函数是奇函数，且在上是增函数。（1） 试用观察法猜出两组与的值，并验证其符合题意；（2） 求出所有符合题意的与的值。22. （本题满分18分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）如图所示
6、，是树形图形第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该段均成1350的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n层设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形图的高度。 1)求第三层及第四层树形图的高度H3，H4； 2)求第n层树形图的高度Hn； 3)若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”，否则称为“矮小”。显然，当时是“矮小”的，是否存在。使得当时，该树形图是“高大”的?参考答案http:/www.DearEDU.com填空题1。2。提示：定义域关于原点对称。3。4。提示：，知。5。6。提示：因为
7、a1,a1+2d,a1+8d成等比数列，所以（a1+2d）2=a1（a9+9d），所以a1=d,所以。7。提示：由定义有(x-a)(x+a)1对都成立，由即得。8。提示：显然直线经过定点，又当时，不经过第二象限，当时，要使直线不经过第二象限，只需，综上。9。提示：总共有1000个号码，抽到有两个相同偶数的情况可以分两类：一类是3个偶数，其中两个相同，如422，242，224，共有；另一类是两个相同偶数，另一个是奇数，如500，050，005等，共有，故。（或）101提示：令A=900，则O为BC的中点，H为A点，此时所给等式变为。另解：取BC的中点D，则，且只有ODBC，AHBC，由，。11；
8、提示：，两式相加整理得，其中。12。提示：。一、 选择题13B提示，同理另解：取A=B=C=600可得B。14C提示：已知直线的倾斜角为300，旋转后的直线的倾斜角为600，其直线方程为，圆心到直线的距离为等于圆的半径。15B.提示：由题意，于是，所以从而，所以双曲线的方程为。16A提示：两式平方相加得，所以A+B=300或1500，若A+B=300，则与矛盾。所以C=300。二、 解答题17解：（1） 当，即时，矛盾，所以。所以， -3分由题意-6分（2）假设存在这样的x,使则，-9分，方程组无解，所以这样的x不存在。 -12分18解：（1）设DQ=y, 又AD=x,则，-3分。-6分（2）
9、，-10分当且仅当，即时，元。-12分19（1）因为为奇函数，所以，所以，-3分所以，所以是函数的一条对称轴；-6分（2），所以是以4为周期的函数。-10分又时，。当，当所以时，的解析式为-14分另解：在上的图象如下： y - 1 x- -1所以时，的解析式为20（1）因为，且。所以动点M到两个定点F1（0，-2），F2（0，2）的距离的和为8。所以轨迹C以F1（0，-2），F2（0，2）为焦点的椭圆，方程为-6分（2）为直线过点（0，3）。若直线是y轴，则A、B是椭圆的顶点。，所以O与P重合，与四边形OAPB是矩形矛盾。-9分所以直线的斜率存在，设直线的方程为由，由于恒成立。由韦达定理-11
10、分因为，所以OAPB是平行四边形。若存在直线，使得四边形OAPB为矩形，则OAOB，即，因为所以，-12分所以，所以机，故存在直线，使得四边形OAPB为矩形。-14分21解：（1）猜想：或；-4分由知，而为奇函数且在上是增函数。-6分由知，而为奇函数且在上是增函数。-8分（2）由为奇函数，有所以，又，解得。-10分当时，为奇函数，由于在上是增函数，所以，由，又在上是增函数，故有，且或，故。-12分当时，为奇函数，由于在上是增函数，所以，由，又在上是增函数，故有，且或2，故 -14分所以所有符合题意的与的值为：或-16分22(1)设题中树（从下而上）新生的各层高度所构成的数列为，则，-4分所以，第三层树形图的高度。-5分第三层树形
