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1、3 2 1立体几何中的向量方法 方向向量与法向量 A P 直线的方向向量 直线 的向量式方程 换句话说 直线上的非零向量叫做直线的方向向量 一 方向向量与法向量 例1 已知长方体ABCD A B C D 的棱长AB 2 AD 4 AA 3 建系如图 求下列直线的一个方向向量 1 AA 2 B C 3 A C 4 DB A B C D A B C D 解 A 4 0 3 B 4 2 3 C 0 2 3 x y z 2 4 3 D 0 0 3 A 4 0 0 B 4 2 0 C 0 2 0 D 0 0 0 例2 已知所有棱长为的正三棱锥A BCD 试建立空间直角坐标系 确定各棱所在直线的方向向量
2、A B C D E F x y z O 解 建系如图 则B 0 0 0 B E F x y z O 2 平面的法向量 l 平面 的向量式方程 换句话说 与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量 2 平面的法向量直线l 取直线l的a 则a叫做平面 的法向量 方向向量 例1 如图所示 正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为 平面OABC的一个法向量坐标为 平面AB1C的一个法向量坐标为 1 1 1 0 0 1 1 0 0 如何刻画平面的方向 二 平面的法向量 例3 长方体中 求下列平面的一个法向量 1 平面ABCD 2 平面ACC A 3 平面ACD x y z A B C D A B C D
3、2 3 4 x y z A B C D A B C D 2 3 4 x y z A B C D A B C D 2 3 4 求平面向量的法向量 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置 所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线 平面间的平行 垂直 夹角 距离等位置关系 用向量方法解决立体问题 二 立体几何中的向量方法 证明平行与垂直 m l 一 平行关系 二 垂直关系 l m l A B C 四 平行关系 五 垂直关系 例1四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 PD 底面ABCD PD DC 6 E是PB的中点 DF FB CG GP 1 2 求证 AE FG A B
4、 C D P G F E A 6 0 0 F 2 2 0 E 3 3 3 G 0 4 2 AE FG 证 如图所示 建立空间直角坐标系 几何法呢 例3四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 PD 底面ABCD PD DC E是PC的中点 1 求证 PA 平面EDB A B C D P E 法1几何法 A B C D P E 法2 如图所示建立空间直角坐标系 点D为坐标原点 设DC 1 1 证明 连结AC AC交BD于点G 连结EG A B C D P E 法3 如图所示建立空间直角坐标系 点D为坐标原点 设DC 1 1 证明 设平面EDB的法向量为 A B C D P E 法4 如图所示建
5、立空间直角坐标系 点D为坐标原点 设DC 1 1 证明 解得x 证明 设正方体棱长为1 为单位正交基底 建立如图所示坐标系D xyz 所以 E是AA1中点 例3正方体 平面C1BD 证明 E 求证 平面EBD 设正方体棱长为2 建立如图所示坐标系 平面C1BD的一个法向量是 E 0 0 1 D 0 2 0 B 2 0 0 设平面EBD的一个法向量是 平面C1BD 平面EBD x y z 期中22 如图 四棱锥S ABCD的底面是正方形 每条侧棱的长都是底面边长的倍 P为侧棱SD上的点 2 若SD 平面PAC 求二面角P AC D的大小 3 在 2 的条件下 侧棱SC上是否存在一点E 使得BE 平面PAC 若存在 求SE EC的值 x y z E 课后作业 E A B C D F
