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1、一 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与标准型 两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式 2 1 1 其中 都是区域 上的实函数 并假定它们是连续可微的 引入下面二阶常系数线性偏微分算子 则 2 1 1 可简单地表示为 1两个自变量方程的化简 一般形式 2 1 1 则在非奇异变换下方程 2 1 1 变为 2 1 2 Jacobi行列式 目的 通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部 从而据此分类 非奇异 3 复合求导 数学物理方程 4 系数之间的关系 2 1 3 数学物理方程 5 其他系数之间的关系 3 数学物理方程 2 1 3 可以看出 如果取一阶偏微分方程 2 1 4 的一个特解作为 则
2、从而A11 0 如果取 2 1 4 的另一个特解为 则A22 0 这样方程 2 1 2 就可以简化 一阶偏微分方程 2 1 4 的求解可以转化为常微分方程的求解 将 2 1 4 改写成 如果将 看作定义隐函数 的方程 则 从而有 2 1 5 8 假设 是方程 的特解 则关系式 是常微分方程 2 1 4 2 1 5 的一般积分 反之亦然 引理 由此可知 要求方程 2 1 4 的解 只须求出常微分方程 2 1 5 的一般积分 数学物理方程 9 定义 称常微分方程 2 1 5 为PDE 2 1 1 的特征方程 称 2 1 5 的积分曲线为PDE 2 1 1 的特征曲线 2 1 6 数学物理方程 2
3、1 5 2 1 5 的解为 和 当 二阶线性偏微分方程为双曲型方程 当 二阶线性偏微分方程为抛物型方程 当 二阶线性偏微分方程为椭圆型方程 记 当 时 2 1 6 式给出一族实的特征 曲线 取 则 这时方程变为 若再作 则上述方程变为 2 1 7 右端为两相异的实函数 双曲型方程的第一标准型 双曲型方程的第二标准型 双曲型PDE 抛物型PDE 由此得到一般积分为 由此令 数学物理方程 取与 函数无关的 作为另一个新的变量 由于 由此推出 数学物理方程 因此 方程 2 1 1 可改写为 抛物型方程的标准型 而 数学物理方程 当 时 2 1 6 式各给出一族复特征线 在该变换下 且方程化为 令 则
4、有 2 1 9 椭圆型PDE 右端为两相异的复数 5 1二阶线性偏微分方程的分类 由前面的讨论可知 方程 2 1 1 通过自变量的可逆变换化为那一种标准形式 主要决定于它的主部系数 若方程 2 1 1 的主部系数在区域 中某一点 x0 y0 满足 则称方程在点 x0 y0 是双曲型的 在邻域 在 中 则称方程在点 x0 y0 是椭圆型的 则称方程在点 x0 y0 是抛物型的 相应地 2 1 7 2 1 8 和 2 1 9 这三个方程分别称为双曲型 抛物型和椭圆型 二阶线性 偏微分方程的标准形式 2方程的分类 如果方程在所讨论的区域 内每点都是 双曲型 抛物型或椭圆型 则称方程在区域内也是双曲型
5、 抛物型或椭圆型 标准形式 弦振动方程 双曲型 描述波的传播现象 特性 对时间可逆 一维热传导方程 抛物型 反映热的传导 物质的扩散等不可逆现象 调和方程 椭圆型 描述平衡或定常状态 讨论Tricomi方程的类型 例1设 解判别式 由此可得 在上半平面Tricomi方程为椭圆型 下半平面Tricomi方程为双曲型 而在x轴上 Tricomi方程为抛物型 例2 判断下面偏微分方程的类型并化简 解 故 故该方程为双曲型偏微分方程 其特征方程 或 故有 或 取新变量 则 代入原方程得 即 对常系数二阶PDE可进一步化简 消掉一阶偏导数项或常数项 令 代入上述方程得 取 例题3 把方程 分类并化为标准
6、形式 5 1二阶线性偏微分方程的分类 解 该方程的 故该方程是抛物型的 特征方程 从而得到方程的一族特征线为 作自变量代换 由于 和 必须函数无关 所以 宜取最简单的函数形式 即 x或 y 于是 原方程化简后的标准形式为 特征的解 例题4 判断下面偏微分方程的类型并化简 解 特征方程 特征方程的解 特征线 令 双曲型方程 例题5 求初值问题的解 解 特征方程 特征方程的解 特征线 令 双曲型方程 方程化为 依次对两个变量进行两次积分 得通解为 由初始条件得 求出 从而原方程的解为 例6 判定下列二阶方程的类型 1 2 3 例7 补充例题 2 2 多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与标准型 n
7、个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式 2 2 1 其中 都是区域 上的实函数 并假定它们是连续可微的 记 2 2 1 中二阶导数項 系数所构成的n阶矩阵为 通过合同变换 有 其中 矩阵B可逆 正惯性指标p 含1的个数 负惯性指标q 含 1的个数 PDE 2 2 1 超双曲型的 PDE 2 2 1 双曲型的 PDE 2 2 1 超抛物型的 PDE 2 2 1 抛物型的 PDE 2 2 1 椭圆型的 通过合同矩阵B 作非奇异线性变换 双曲型标准形式 PDE 2 2 1 化为标准型 抛物型标准形式 椭圆型标准形式 例 判断下面偏微分方程的类型并化简 解 故该方程为椭圆型偏微分方程 通过合同矩阵B 作非奇异线性变换 椭圆型标准形式为
