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1、直线、平面、简单几何体一、知识结构一、判定两线平行的方法1、 平行于同一直线的两条直线互相平行2、 垂直于同一平面的两条直线互相平行3、 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、 在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、 判定线面平行的方法1、 据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行3、 两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、 平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也
2、平行于该平面5、 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法由定义知：“两平行平面没有公共点”。 由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”。 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、 垂直于两平
3、行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面5、 果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法1、 定义：成角2、 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直
4、，那么它也和这条斜线垂直4、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法1、 定义：两面成直二面角,则两面垂直2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质1、 二面角的平面角为2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是： 2、直线与平面所成的角的取值范围是： 3、斜线与平面所成的角的取值范围是： 4、二面角的大小用它的平面角
5、来度量；取值范围是： 十空间角的计算：总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力1.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；2.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分
6、别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；3.而求二面角alb的平面角（记作q）通常有以下几种方法：(1) 根据定义；(2) 垂面法： 过棱l上任一点O作棱l的垂面g，设gaOA，gbOB，则AOBq(图1)；(3) 三垂线法：利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面a内一点A，分别作另一个平面b的垂线AB(垂足为B),或棱l的垂线AC(垂足为C)，连结AC，则ACBq 或ACBpq(图2)；(4) 设A为平面a外任一点，ABa，垂足为B，ACb，垂足为C，则BACq或BACpq(图3)；(5) 射影法： 利用面
7、积射影定理，设平面a内的平面图形F的面积为S，F在平面b内的射影图形的面积为S，则cosq. 图 1 图 2 图 3ABCNMPQ例1、在三棱锥P-ABC中，APB=BPC=CPA=600，求二面角A-PB-C的余弦值。BACDD1A1B1C1EF例2、如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E是CC1的中点，求二面角B-B1E-D的余弦值。例3、在平面角为600的二面角-l-内有一点P，P到、分别为PC=2cm,PD=3cm,则（1）垂足的连线CD等于多少？（2）P到棱l的距离为多少？ PEDClABCB1C1A1NQ例4、直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，
8、直线B1C与平面ABC成300角，求二面角B-B1C-A的正弦值。十一.空间的距离问题：即点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作点到面的垂线段，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作点到面的垂线段，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解
9、；求距离的一般方法和步骤是：一作作出表示距离的线段；二证证明它就是所要求的距离；三算计算其值此外，我们还常用体积法求点到平面的距离十二、欧拉公式:如果简单多面体的顶点数为V，面数F，棱数E，那么V+F-E2.计算棱数E常见方法：(1)EV+F-2；(2)E各面多边形边数和的一半；(3)E顶点数与共顶点棱数积的一半。（4）多面体的内角和为：(V-2)3600=(E-F) 3600十三、经纬度及球面距离：根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度数，某地的纬度是一个线面角的度数，设BMAOAOSNBP球O的地轴为NS，圆O是0纬线，半圆NAS是0经线，若某地P是在东经120，北纬40，我
10、们可以作出过P的经线NPS交赤道于B，过P的纬线圈圆O1交NAS于A，那么则应有：AO1P=120(二面角的平面角) ，POB=40（线面角）。两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长，求球面上两点A、B间的距离求法：（1）计算线段AB的长，（2）计算球心角AOB的弧度数；(3)用弧长公式计算劣弧AB的长；例如，可以循着如下的程序求A、B两点的球面距离。十四、三角形的心1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点线段AB的长 AOB的弧度数 大圆劣弧AB的长2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点3、重心：中线的交点4、垂心：高的交点十三、面积和体积 1、 2、 3、 4、面积比是相似比的
11、平方，体积比是相似比的立方5、(s为直截面面积) 斜三棱柱的体积公式：6、 7、 十四、其它.1、关于等边三角形，边长为a ，其内切圆半径为r ,外接圆半径为R,则r与a，R与a ，R与r的关系分别为 该三角形的面积S= 。2、边长为a的正四面体中，侧棱与底面所成的角的一个三角函数值为 侧面与底面所成的余弦值为 ，顶点到对面的距离为 ，该四面体的体积为 。3、 棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则S侧cos=S底；4、 三余弦公式？其中为线面角，为斜线与平面内直线所成的角，5、已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为因此有cos2+cos2+cos2=1; 若长方体的体对角
12、线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2; 6、正方体和长方体的外接球的直径等于其体对角线长；7、求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）练习：D1O1A1B D AB1CC11、如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，点A1在底面的射影O在AB上，已知侧棱A1A与底面ABCD成450角，A1A=a。求二面角A1-AC-B的平面角的正切值。（答案：）PBBCDAA2、如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABC=900，AB=a,AD=3a,sinADC=,又PA平面ABCD，PA=a，求二面角P-CD-A的大小。（答案：arctg）A1ABCC1B13、已知斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，ABC90，BC2，AC2，且AA1A1C，AA1A1C。 （）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（）求顶点C到侧面A1ABB1的距离。（答案：、450；、600；、）45
