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1、第十四章导数1(2006年安徽卷)若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为( )A B C D解:与直线垂直的直线为,即在某一点的导数为4,而,所以在(1,1)处导数为4,此点的切线为,故选A2 ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x2y2 4x2y+=0相切的直线的方程为 (A)(A)y=-3x或y=x (B) y=-3x或y=-x (C)y=-3x或y=-x (B) y=3x或y=x 3(2006年天津卷)函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点(A )A1个 B2个 C3个D 4个4(2006年全国卷I)设函数。若是奇函数,则_。4要使为奇函数,需且仅需,
2、即:。又,所以k只能取0,从而。5(2006年江苏卷)对正整数n,设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为,则数列的前n项和的公式是解:,令x=0,求出切线与y轴交点的纵坐标为,所以,则数列的前n项和点评:本题主要考查利用导数求切线方程,再与数列知识结合起来,解决相关问题。6(2006年江西卷)对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x1)0,则必有( C )A f(0)f(2)2f(1)解:依题意,当x1时,f(x)0,函数f(x)在(1,)上是增函数;当x0, 减,增.11(2006年北京卷)已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,如图所示.求:()的值;()的值.11. ()=1
3、; ().12(2006年辽宁卷)已知函数f(x)=,其中a , b , c是以d为公差的等差数列,且a0,d0.设1-上,在,将点A, B, C (I)求(II)若ABC有一边平行于x轴,且面积为,求a ,d的值【解析】(I)解: 令,得当时, ;当时, 所以f(x)在x=-1处取得最小值即(II) 的图像的开口向上,对称轴方程为由知在上的最大值为即又由当时, 取得最小值为由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以又由三角形ABC的面积为得利用b=a+d,c=a+2d,得联立(1)(2)可得.解法2: 又c0知在上的最大值为即: 又由当时, 取得最小值为由三角形ABC有一条边平行
4、于x轴知AC平行于x轴,所以又由三角形ABC的面积为得利用b=a+d,c=a+2d,得联立(1)(2)可得【点评】本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力13(2006年江西卷)已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1时都取得极值(1) 求a、b的值与函数f(x)的单调区间(2) 若对x1,2,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围。13解:(1)f(x)x3ax2bxc,f(x)3x22axb由f(),f(1)32ab0得a,b2f(x)3x2x2(3x2)(x1),函数f(x)的单调区
5、间如下表:x(,)(,1)1(1,)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的递增区间是(,)与(1,)递减区间是(,1)(2)f(x)x3x22xc,x1,2,当x时,f(x)c为极大值,而f(2)2c,则f(2)2c为最大值。要使f(x)f(2)2c解得c214(2006年天津卷)已知函数,其中为参数,且(1)当时,判断函数是否有极值;(2)要使函数的极小值大于零,求参数的取值范围;(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数,函数在区间内都是增函数,求实数的取值范围14无极值;15(2006年全国卷I)已知函数。()设,讨论的单调性;()若对任意恒有,求的取值范围。15解:(I)
6、 的定义域为(,1)(1,) 因为(其中)恒成立,所以 当时,在(,0)(1,)上恒成立,所以在(,1)(1,)上为增函数; 当时,在(,0)(0,1)(1,)上恒成立,所以在(,1)(1,)上为增函数; 当时,的解为:(,)(t,1)(1,+)(其中)所以在各区间内的增减性如下表:区间(,)(,t)(t,1)(1,+)的符号+的单调性增函数减函数增函数增函数(II)显然 当时,在区间0,1上是增函数,所以对任意(0,1)都有; 当时,是在区间 0,1上的最小值,即,这与题目要求矛盾; 若,在区间0,1上是增函数,所以对任意(0,1)都有。综合、 ,a的取值范围为(,2)OO116(2006年
7、江苏卷)请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时,帐篷的体积最大?解:设OO1为,则由题设可得正六棱锥底面边长为:,(单位:)故底面正六边形的面积为:=,(单位:)帐篷的体积为:(单位:)求导得。令,解得(不合题意,舍去),当时,为增函数;当时,为减函数。当时,最大。答:当OO1为时,帐篷的体积最大,最大体积为。点评:本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力17(2006年湖北卷)设是函数的一个极值点.()求与的关系式(用表示),并求的单调区间;()设
8、,.若存在使得成立,求的取值范围.17 点评:本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力。解:()f (x)x2(a2)xba e3x,由f (3)=0,得 32(a2)3ba e330,即得b32a,则 f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x33a e3x(x3)(xa+1)e3x.令f (x)0,得x13或x2a1,由于x3是极值点,所以x+a+10,那么a4.当a3x1,则在区间(,3)上,f (x)0,f (x)为增函数;在区间(a1,)上,f (x)4时,x23x1,则在区间(,a1)上,f (x)0,f (x)为增函数;在区间(
9、3,)上,f (x)0时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f (x)在区间0,4上的值域是min(f (0),f (4) ),f (3),而f (0)(2a3)e30,f (3)a6,那么f (x)在区间0,4上的值域是(2a3)e3,a6.又在区间0,4上是增函数,且它在区间0,4上的值域是a2,(a2)e4,由于(a2)(a6)a2a()20,所以只须仅须(a2)(a6)0,解得0a.故a的取值范围是(0,)。18 ( 2006年重庆卷)已知函数f(x)=(x2+bx+c)cx,其中b,cR为常数.()若b24(a-1),讨论函数f(x)的单调性;(
10、)若b24(c-1),且=4,试证:6b2.解:()求导得f2(x)=x2+(b+2)x+b+cex.因b24(c-1),故方程f2(x)=0即x2+(b+2)x+b+c=0有两根;x1=x2=令f(x)0,解得xx1或xx1;又令f(x)0,解得x1xx2.故当x(-, x1)时,f(x)是增函数,当 x(x2,+)时,f(x)也是增函数,但当x(x1 , x2)时,f(x)是减函数.()易知f(0)=c,f(u)=b+c,因此.所以,由已知条件得 b+e=4 b24(e-1),因此b2+4b-120.解得-6b2.19(2006年全国卷II)设函数f(x)(x1)ln(x1),若对所有的x
11、0,都有f(x)ax成立,求实数a的取值范围19解法一:令g(x)(x1)ln(x1)ax,对函数g(x)求导数:g(x)ln(x1)1a令g(x)0,解得xea11, 5分(i)当a1时,对所有x0,g(x)0,所以g(x)在0,)上是增函数,又g(0)0,所以对x0,都有g(x)g(0),即当a1时,对于所有x0,都有f(x)ax 9分(ii)当a1时,对于0xea11,g(x)0,所以g(x)在(0,ea11)是减函数,又g(0)0,所以对0xea11,都有g(x)g(0),即当a1时,不是对所有的x0,都有f(x)ax成立综上,a的取值范围是(,1 12分解法二:令g(x)(x1)ln(x1)ax,于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立3分对函数g(x)求导数:g(x)ln(x1)1a令g(x)0,解得xea11, 6分当x ea11时,g(x)0,g(