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1、20192019 年龙泉中学 随州一中 天门中学三校年龙泉中学 随州一中 天门中学三校高三高三 4 4 月联考月联考 文科数学试题文科数学试题 第第 I 卷卷 一 选择题 本题共一 选择题 本题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 在每小题分 在每小题 给出的四个选项中 只有一项是符合题目要给出的四个选项中 只有一项是符合题目要 求的 求的 1 已知全集U R 集合 12Ax x 2 680Bx xx 则集合 UA B 23A xx 14B xx 23C xx 14D xx 2 复数 i i z 1 1 则z的虚部 为 A i B iC 1 D 1 3 AQI是表示空气质量的指数
2、 AQI指数值越小 表明空 气质量越好 当AQI指数值不大于 100 时称空气质量 为 优良 如图是某地 3 月 1 日到 12 日AQI指数值 的统计数据 图中点A表示 3 月 1 日的AQI指数值为 201 则下列叙述不正确 的是 A 这 12 天中有 6 天空气质量为 优良 B 这 12 天中空气质量最好的是 4 月 9 日 C 这 12 天的AQI指数值的中位数是 90 5 来源 学 科 网 D 从 3 月 4 日到 9 日 空气质量越来越好 4 已知几何体三视图如右图所示 图中圆的半径为 1 等腰三角形的腰 长为 3 则该几何体表面积 为 A 6 B 5 C 4 D 3 5 若 n
3、a为等差数列 n S是其前 n 项和 且 3 22 11 S 则 tan 6 a的 值为 A 3B 3 C 3 3 D 3 3 6 已知角 的顶点与原点O重合 始边与x轴的非负半轴重合 它的终边过点 34 55 P 角 满足 5 sin 13 则cos 的值为 A 65 16 65 56 或 B 65 16 C 65 56 D 65 16 65 56 或 7 如图 E F分别是三棱锥P ABC的棱AP BC的中点 PC 10 AB 6 EF 7 则异面直线AB与PC所成的角为 A 30 B 60 C 120 D 150 8 已知函数2 1 log 2 2 xxxf 则 来源 学科网 A 2B
4、2C 0D 1 9 从分别写有 1 2 3 4 5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张 放回后 再随机抽取 1 张 若抽得的第一张卡 片上的数小于第二张卡片上的数的概率为 1 p 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数 的概率为 2 p 抽得的第一张卡片上的数等于第二张卡片上的数的概率为 3 p 则有 A 12 1pp B 21 pp C 13 pp D 1 p 2 p 3 p 10 已知圆 C 的方程为1 22 yx 2 P x 过点 P 作圆 C 的切线 切点分别为 A B 两点 则APB 最大 为 A 30 B 45 C 60 D 90 11 在平行四边形 ABCD 中 E F 分别为
5、边 BC CD 的中点 若ABxAEyAF x yR 则 yx A 2B 1C 2 3 D 3 2 2 12 sincos2cos 0 2 f xxxx xyf x 则的最大值 为 来源 学科网 A 1 3 2 3 B 3C 2 2D 4 第第 IIII 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第本卷包括必考题和选考题两部分 第 1313 2121 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 2222 2323 题题 为选考题 考生根据要求作答 为选考题 考生根据要求作答 二 填空题二 填空题 本小题共本小题共 4 4 小题 每小题共小题 每小题共 5 5 分 分
6、 13 函数满足 且在区间上 cos 02 2 1 20 2 x x f x xx 则 2019ff的值为 14 已知不等式组 ax xy xy 所表示的平面区域的面积为 4 点 yxP在所给平面区域内 则 yxz 2的最大值为 15 设 12 FF 分别是双曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的左 右焦点 若双曲线右支上存在一点P 使 1 OPOF O为坐标原点 且 12 3 PFPF 则双曲线的离心率为 16 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别是 a b c 且 c C b B a Asincoscos 若bcacb 5 8 222 则 tanB 三三 解答题解答题
7、 共共 7070 分分 解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 第第 17 2117 21 题为必考题题为必考题 每个试题每个试题 考生都必须作答考生都必须作答 第第 2222 2323 题为选考题 考生根据要求作答题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 一 必考题 共 6060 分分 17 本题满分 12 分 在数列 n a中 2 22 3 11 Nnnnaaa nn 且 1 证明 数列 nan 是等比数列 并求 n a的通项公式 2 求数列 nn Sna项和的前 18 本题满分 12 分 荆楚湖北素有 板栗之乡 称号 但板栗的销售受季节的影响 储存
8、时间不 能太长 我校数学兴趣小组对近年某食品销售公司的销售量y 吨 和板栗销售单价x 元 千克 之间的关系进行了调查 得到如下表数据 销售单价 i x 元 公斤 1110 5109 598 销售量 i y 吨 568101114 1 根据前 5 组 数据 求出 y 关于x的回归直线方程 若回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据 的差的绝对值不超过 0 5 即 14 4 14 10 30 5yy 则认为回归直线方程是理想的 试问 中得到的回归直线 方程是否理想 如果今年板栗销售仍然服从 中的关系 且板栗的进货成本为 2 5 元 千克 且货源充足 未 售完的部分可按成本全部售出 为了使利润最大
9、 请你帮助该公司就销售单价给出合理建议 每 千克销售单价不超过 12 元 参考公式 回归直线方程 ybxa 其中 1 2 1 2 n ii i n i i x ynxy b xnx a ybx 参考数据 55 2 11 392 502 5 iii ii x yx 19 本题满分 12 分 如图 在四棱锥 S ABCD 中 底面 ABCD 是梯形 AB DC ABC 90 AD SD ABCDBC 2 1 侧面 SAD 底面 ABCD 1 求证 平面 SBD 平面 SAD 2 若 SDA 120 CD 1 求三棱锥 S BCD 的体积 20 本题满分 12 分 已知长轴长为 4 的椭圆 22 2
10、2 1 0 xy ab ab 过点 3 1 2 P 点F是椭圆的 右焦点 1 求椭圆方程 2x轴上是否存在定点 D 在椭圆外 使得过D的直线l交椭圆于AB 两点 设点E为点B关于 x轴的对称点 且AFE 三点共线 若存在 求D点坐标 若不存在 说明理由 21 本题满分 12 分 已知函数 2 lnf xaxxx 1 若a 1时 求函数 f x的最小值 2 若函数 f x有两个零点 求实数a的取值范围 二 选考题 共 二 选考题 共 1010 分 请在分 请在 2222 2323 任选一题作答 任选一题作答 22 本题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 曲线C的
11、参数方程为 1 cos sin x y 为参数 直线l的参数方程为 1 3 xt yt t为参数 在以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴的极坐标系中 射线 0 m 1 求C和l的极坐标方程 2 设射线m与C和l分别交于异于原点的 A B两点 求 OA OB 的最大值 来源 学 科 网 Z X X K 23 本题满分 10 分 选修45 不等式选讲 已知函数 21f xxax 1 当2a 时 求 30f x 的解集 2 当 1 3 x 时 3f x 恒成立 求a的取值范围 20192019 年龙泉中学 随州一中 天门中学三校年龙泉中学 随州一中 天门中学三校 高三高三 4 4 月联考 文科 数学月
12、联考 文科 数学 参考答案参考答案 一 选择题一 选择题 123456789101112 ADCBBABCCCDA 二 填空题二 填空题 13 14 615 31 16 3 三 解答题三 解答题 17 1 证明 2 1 222 1 22 1 1 1 1 1 1 na na na nna na na n n n n n n nan 数列是首项为41 1 a 公比为 2 的等比数列 7 分 11 224 nn n na 即 2 1 na n n n a 的通项公式为 2 1 Nnna n n 6 分 2 解 n a 的通项公式为 2 1 Nnna n n 321 2222 1432 nS n n
13、2 8 2 2 1 21 21 2 2 2 2 nnnn n n 12 分 18 因为 11 11 10 5 109 59 10 568 10 11 8 55 xy 1 分 所以 2 3925 10 8 3 2 502 55 10 b 所以 8 3 2 1040a 3 分 所以y关于 x 的回归直线方程为 3 240yx 4 分 当8x 时 3 2 84014 4y 则 14 4 14 10 30 5yy 所以可以认为回归直线方程是理想的 7 分 设销售利润为 W 千元 则 2 2 5 3 240 3 248100Wxxxx 6 9 分 因为2 512 x 所以 15 3 2 15 1003
14、2 10080 2 xx Wxx 当且仅当15xx 即7 5x 时 W 取得最大值 所以可建议该公司将销售价格定位 7 5 元 千克 12 分 19 1 证明 在梯形 ABCD 中 AB DC ABC 90 BC CD 设 BC a 则 CD a AB 2a 在直角三角形 BCD 中 BCD 90 可得 BD a CBD 45 ABD 45 由余弦定理可得 AD a 则 BD AD 由面 SAD 底面 ABCD 可得 BD 平面 SAD 又 BD 平面 SBD 可得平面 SBD 平面 SAD 6 分 2 在 SAD 中过 S 作ABCDSADOADADSO面 因为面的延长线与点交 则 1 1
15、SOABCDABCDCDBC 面在梯形中 则 136 2 222 S BCDSO 又 1166 1 1 32212 V 12 分 20 1 24a 2a 点 3 1 2 P代入 22 22 1 xy ab 有 2 3b 椭圆方程为 22 1 43 xy 4 分 2 存在定点 4 0 D满足条件 设 0 D t 直线l方程为xmyt 联立 22 1 43 xmyt xy 消x有 222 34 63120mymt yt 设 11 A x y 22 B x y 则 22 E xy 12 2 2 12 2 6 34 312 34 mt yy m t y y m 且0 由AFE 三点共线有 2112 1
16、 1 0 xyxy 9 分 1212 2 1 0my ytyy 22 1 43 xmyt xy 4t 存在定点 4 0 D满足条件 12 分 21 解 1 2 1 lnaf xxxx 时 1 21 1 21 0 1 0 1 0 xx fxxxxfxf x xx xfxf x 则当0时为减 当时为增 10 f xx 在处有最小值 4 分 2 方法一 由 2 lnf xaxxx 得 1 21fxax x 2 21 0 axx x x 当0a 时 2 21 0 axx fx x 函数 f x在 0 上单调递减 当0a 时 f x在 0 上最多有一个零点 f x有两个零点 0a 由 2 lnf xaxxx 得 2 21 0 axx fxx x 令 2 21g xaxx 010g 20a g x在 0 上只有一个零点 设这个零点为 0 x 当 0 0 xx 时 0g x 0fx 当 0 xx 时 0g x 0fx 函数 f x在 0 0 x上单调递减 在 0 x 上单调递增 要使函数 f x在 0 上有两个零点 只需要函数 f x的极小值 0 0f x 即 2 000 ln0axxx 2 000
