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1、第四章单元质量检测第四章单元质量检测 时间 90 分钟分值 100 分 一 选择题 每小题 4 分 共 40 分 1 复数 z 3 1 i i 为虚数单位 的模为 A 2B 3 C 10D 4 解析 由 z 3 1 i 3 i i2 3 i 所以 z 32 12 10 故选 C 答案 C 2 已知平面向量 a 2 m b 1 3 且 a b b 则实 数 m 的值为 A 2 3B 2 3 C 4 3D 6 3 解析 因为 a b b 所以 a b b a b b2 0 即 2 3m 4 0 解得 m 2 3 答案 B 3 计算 1 2 3 2 i 1 2 3 2 i 2 A 1 8 3 3 8
2、 iB 1 8 3 3 8 i C 1 2 3 2 iD 1 2 3 2 i 解析 原式 1 2 3 2 i 1 4 2 1 2 3 2 i 3 4i 2 1 2 3 2 i 3 2 i 1 2 1 2 3 2 i 2 1 4 3 2 i 3 4i 2 1 2 3 2 i 答案 D 4 已知平面向量 a 1 2 b 2 1 c 4 2 则下列 结论中错误的是 A 向量 c 与向量 b 共线 B 若 c 1a 2b 1 2 R 则 1 0 2 2 C 对同一平面内任意向量 d 都存在实数 k1 k2 使得 d k1b k2c D 向量 a 在向量 b 方向上的投影为 0 解析 选项 A 正确 c
3、 2b 所以向量 c 与向量 b 共线 选项 B 正确 由 c 1a 2b 可知 4 1 2 2 2 2 1 2 解得 1 0 2 2 选项 C 错误 向量 c 与向量 b 共线 所以由平面向量基本定理可知 它们 的线性组合不能表示出同一平面内的任意向量 选项 D 正确 a b 0 所以 a b 夹角是 90 向量 a 在向量 b 方向上的投影为 a cos90 0 答案 C 5 P 是 ABC 内的一点 AP 1 3 AB AC 则 ABC 的面积与 ABP 的面积之比为 A 3B 6 C 2D 3 2 解析 设 D 是 BC 的中点 则AB AC 2AD 由题意 得AP 2 3AD 所以
4、D 在 AP 上 且 P 是 ABC 的重心 故S ABC S ABP 3 1 3 答案 A 6 设 i 是虚数单位 若复数 1 i 2 ai为实数 则实数 a 为 A 2B 2C 1 2 D 1 2 解析 由于 1 i 2 ai 1 i 2 ai 2 ai 2 ai 2 a a 2 i 4 a2 依题意知 a 2 0 则 a 2 答案 A 7 平面上有四个互异点 A B C D 已知 DB DC 2DA AB AC 0 则 ABC 的形状是 A 直角三角形B 等腰三角形 C 等腰直角三角形D 无法确定 解析 由 DB DC 2DA AB AC 0 得 DB DA DC DA AB AC 0
5、所以 AB AC AB AC 0 所以 AB 2 AC 2 0 AB AC 故 ABC 是等腰三角形 答案 B 8 已知正方形 ABCD 字母顺序是 A B C D 的边长为 1 点 E 是 AB 边上的动点 可以与 A 或 B 重合 则DE CD 的最大值是 A 1B 1 2 C 0D 1 解析 建立直角坐标系如图所示 设 E x 0 x 0 1 则 D 0 1 C 1 1 B 1 0 所以DE CD x 1 1 0 x 当 x 0 时取得最大值 0 答案 C 9 如图所示 P 为 AOB 所在平面上一点 向量OA a OB b 且 P 在线段 AB 的垂直平分线上 向量OP c 若 a 3
6、 b 2 则 c a b 的值为 A 5B 3 C 5 2 D 3 2 解析 设 AB 的中点为 D 连接 OD 则 c OP OD DP 所以 c a b OD DP BA OD BA DP BA OD BA 1 2 a b a b 1 2 a 2 b 2 5 2 答案 C 10 已知 O 为平面内一点 A B C 是平面内不共线的三点 且 OP 1 2 OB OC AB AB cosB AC AC cosC 0 则 P 点的轨 迹一定过 ABC 的 A 内心B 垂心 C 重心D 外心 解析 设 D 点为 ABC 中 BC 边的中点 则已知等式可变为 OP OD AB AB cosB AC
7、AC cosC DP AB AB cosB AC AC cosC 等式两边点乘向量BC 得BC DP AB BC AB cosB AC BC AC cosC BC BC 0 所以BC DP 故 P 点的轨迹一定通过 ABC 的外心 答案 D 二 填空题 每小题 4 分 共 16 分 11 计算 1 i 1 i 2 014 解析 原式 1 i 2 1 i 1 i 2 014 1 2i i2 2 2 014 i 2 014 i2 014 i4 503 i2 1 答案 1 12 在 OA 为边 OB 为对角线的矩形中 OA 3 1 OB 2 k 则实数 k 解析 AB OB OA 2 k 3 1 1
8、 k 1 因为 OA AB 所以OA AB 0 即 3 k 1 0 解得 k 4 答案 4 13 已知在平面直角坐标系中 O 0 0 M 1 1 N 0 1 Q 2 3 动点 P x y 满足不等式 0 OP OM 1 0 OP ON 1 则 z OQ OP 的 最大值为 解析 OP x y OM 1 1 ON 0 1 OP OM x y OP ON y 即在 0 x y 1 0 y 1 条件下 求 z 2x 3y 的最大值 由线性规 划知识 当 x 0 y 1 时 zmax 3 答案 3 14 已知点 A 3 0 B 0 3 C cos sin 若AC BC 1 则 1 tan 2sin2
9、sin2 的值为 解析 由题意 得AC cos 3 sin BC cos sin 3 所以AC BC cos cos 3 sin sin 3 1 即 sin cos 2 3 两边平方 得 1 2sin cos 4 9 所以 2sin cos 5 9 原式 1 sin cos 2sin sin cos 1 2sin cos 9 5 答案 9 5 三 解答题 共 4 小题 共 44 分 解答应写出必要的文字说明 计算过程或证明步骤 15 10 分 已知复数 z bi b R z 2 1 i是实数 i 是虚数单位 1 若复数 z 2 若复数 m z 2所表示的点在第一象限 求实数 m 的取值范围 解
10、 1 因为 z bi b R 所以z 2 1 i bi 2 1 i bi 2 1 i 1 i 1 i b 2 b 2 i 2 b 2 2 b 2 2 i 又因为z 2 1 i是实数 所以 b 2 2 0 所以 b 2 即 z 2i 2 因为 z 2i m R 所以 m z 2 m 2i 2 m2 4mi 4i2 m2 4 4mi 又因为复数 m z 2所表示的点在第一象限 所以 m2 4 0 4m 0 解得 m 2 即 m 2 16 10 分 已知向量 m cosx sinx n 2 2 2 2 1 若 m n 求 m n 2 设 f x m n 若 f 3 5 求 f 2 3 4 的值 解
11、1 由 m n 则 m n 0 故 m n 2 m2 n2 2mn 1 1 2 所以 m n 2 2 f x m n 2 2 cosx 2 2 sinx sin x 4 由 f 3 5 故 cos sin 3 2 5 平方后得 sin2 cos2 2cos sin 18 25 所以 sin2 7 25 f 2 3 4 sin 2 sin2 7 25 17 12 分 已知点 G 是 ABO 的重心 M 是 AB 边的中点 1 求GA GB GO 2 若 PQ 过 ABO 的重心 G 且OA a OB b OP ma OQ nb 求证 1 m 1 n 3 解 1 GA GB 2GM 又 2GM G
12、O GA GB GO GO GO 0 2 证明 显然OM 1 2 a b 因为 G 是 ABO 的重心 所以OG 2 3OM 1 3 a b 由 P G Q 三点共线 得PG GQ 所以 有且只有一个实数 使PG GQ 而PG OG OP 1 3 a b ma 1 3 ma 1 3b GQ OQ OG nb 1 3 a b 1 3a n 1 3 b 所以 1 3 ma 1 3b 1 3a n 1 3 b 又因为 a b 不共线 所以 1 3 m 1 3 1 3 n 1 3 消去 整理得 3mn m n 故1 m 1 n 3 18 12 分 已知 m 2cosx 2 3sinx 1 n cosx
13、 y 且 m n 1 将 y 表示为 x 的函数 f x 并求 f x 的单调增区间 2 已知 a b c 分别为 ABC 的三个内角 A B C 对应的 边长 若 f A 2 3 且 a 2 b c 4 求 ABC 的面积 解 1 由 m n 得 m n 0 所以 2cos2x 2 3sinxcosx y 0 即 y 2cos2x 2 3sinxcosx cos2x 3sin2x 1 2sin 2x 6 1 由 2 2k 2x 6 2 2k k Z 得 3 k x 6 k k Z 即增区间为 3 k 6 k k Z 2 因为 f A 2 3 所以 2sin A 6 1 3 sin A 6 1 所以 A 6 2k 2 k Z 因为 0 A 所以 A 3 由余弦定理 得 a2 b2 c2 2bccosA 即 4 b2 c2 bc 所以 4 b c 2 3bc 因为 b c 4 所以 bc 4 所以 S ABC 1 2bcsinA 3
