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1、函数的值域 1 求函数的最值的常用方法有 配方法 判别式法 不等式法 换元法 反函数法 利用函数的单调性和有界性 数形结合 导数法等 2 函数的最值 极值 值域是三个不同又相关的概念 函数的极值只反映某一点的附近函数值的状态 函数的值域是函数值的集合 而函数的最值是函数在定义域内的函数值中的最大或最小值 因此 求最值时要把定义域内的一切极值和端点处函数值加以比较得到 或是函数值域中的端点值 3 求函数的最值和求函数值域的常用方法基本上是相同的 4 函数的最小 大 值 实际上是函数图象的最低 高 点的纵坐标 因而有时借助函数图象的直观性可得出函数的最值 5 合理选择适当方法解决具体问题是学好本节
2、的关键 6 注意函数的单调性对函数最值的影响 尤其是对于闭区间上的函数的最值 知识系统整理 高考热点范例 范例1 函数的最大值是 解 首先讨论分母的取值范围 1 x 1 x x2 x 1 x 2 因此 有 所以 f x 的最大值为 总结 本题是用不等式法求得最值及其值域 高考热点范例 范例2 已知二次函数f x lga x2 2x 4lga的最大值为3 求a的值 解 原函数可化成 由已知 f x 有最大值3 所以lga 0 并且 4lga 3 整理得4 lga 2 3lga 1 0 解得lga 1 或 评析 本题主要考查二次函数的最大值和最小值的概念以及对于配方法 对数方程 二次方程的综合运用
3、能力 高考热点范例 范例3 求下列函数的最值 1 求函数的最小值 2 求函数的最大值和最小值 3 求函数的最大值 1 求函数的最小值 1 导数法 解 求导并令 得 9 4 x 2 4 4 x 2 函数在定义域内有唯一的极值点 在的左 右两 边各取一个特殊值代入检验知y 的值在处左负右正 1 求函数的最小值 1 初等方法 解 本题应首选 判别式法 解析式变形得 但必须注意上述过程并非等价 而且 变量x有取值限制 故 0仅是方程的必要条件 因此还必须检验是否成立 当时 方程有等根 2 求函数的最大值和最小值 2 导数法 解 定义域 1 x 1 2 求函数的最大值和最小值 2 初等方法 换元法 解
4、得 注 本题也可以用 判别式法 完成 3 求函数的最大值 3 导数法 解 定义域 3 求函数的最大值 3 初等方法 解 课堂练习 基础篇 1 函数y 2x2 6x 3 1 x 1 的最小值是 A B 3 C 1 D 1 2 已知 那么的最小值是 A B C 2 D 2 3 函数的最小值是 A 1 B C 2 D 3 4 若实数x y满足等式 x 2 2 y2 3 那么的最小值是 A B C D C A C D 课堂练习 能力篇 1 1 若 则函数的最小值和最大值分别为 A 3 B 18 C 2 D 2 12 大者 则f x 的最小值是 A 2 B 3 C 8 D 1 3 若f x 和g x 都
5、是奇函数 且F x af x bg x 2在 0 上有最大值8 则在 0 上F x 有 A 最小值 8 B 最大值 8 C 最小值 6 D 最小值 4 4 某工厂生产某种产品的固定成本为200万元 并且每生产一单位产品 成本增加1万元 又知总收入R是单位产量Q的函数则总利润L Q 的最大值是万元 这时产品的生产数量为万元 总利润 总收入 总成本 B A D 250 300 较小者 的最大值呢 课堂练习 能力篇 2 5 若x y R 3x 2y 12 则xy的最大值是 6 已知实数x y满足 则的最小值为 最大值为 7 设x 0 y 0 且x 2y 求当x y为何值时有最大值与最小值 并求出它的最大值 最小值 8 已知A a 0 和抛物线y2 2x上的点P x y 记P到A的最小值为f a 1 求f a 的表达式 2 当时 求f a 的最大值与最小值 6
