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1、函数的应用 数学建模能力与数学实践能力 实际问题数学化 1 熟悉问题提供的背景 2 能阅读理解对问题进行陈述的材料 3 能运用数学知识 思想和方法分析题设中各类数量的关系及联系 构建数学模型 将实际问题转化为数学问题 4 运用已有知识 选择合理的途径解答问题 解答后还要回归实际背景 判定解的合理性 程序图 实际问题 抽象概括 数学模型 求解数学模型 实际问题的解 还原 检验 审题 1 读题 先通读 分清哪些是为了说明现象或叙述问题的实际背景的描述性词语 哪些是为抽象数学问题而给出的数量与关系 2 翻译 应用题化为数学问题的关键在于对语言的理解与转换 包括 对陌生名词 概念的领悟 把文字叙述语言
2、 图形语言 数学符号语言三者进行等价转化 3 挖掘 应用题中的因果关系和内在规律常有隐蔽性 需要挖掘题目中蕴涵的数字信息 这也是解应用题的难点 应用题分类 1 用料最省 造价最低 利润最高等最优化问题 函数 2 数量间的相等或不等关系 如人口控制 资源保护等 方程 不等式 3 增长率 如存款利息 人口增长等 数列 解析几何 立体几何 4 运行轨道 拱桥形状等 5 几何体的形状 面积 体积等 6 排列组合 概率 解答函数应用题的一般步骤 1 阅读理解材料 读懂题目所叙述的实际问题的意义 接受题目所约定的临时定义 理顺题目中的量与量的数量关系 位置关系 分清变量与常量 2 建立函数模型 正确选择自
3、变量将问题的目标表示为这个变量的函数 建立目标函数关系式 关键是抓住某些量之间的相等关系列出函数式 注意不要忘记考察函数的定义域 3 求解函数模型 讨论变量及函数模型的有关性质 单调性 典型例题 例1某厂今年1月 2月 3月生产某种产品分别为1万件 1 2万件 1 3万件 为了估测以后每个月的产量 以这三个月的产量为依据 用一个函数模拟该产品的产量与月份x的关系 模拟函数可选用二次函数或函数y a bx c 其中a b c为常数 已知4月份该产品的产量为1 37万件 请问 用以上哪个函数作为模拟函数较好 并说明理由 解 设f x px2 qx r p 0 f x 0 05x2 0 35x 0
4、7 f 4 0 05 42 0 35 4 0 7 1 3 万件 又由g x a bx c可得 g 4 0 8 0 54 1 4 1 35 万件 而4月份的产量为1 37万件 故由 比较可知 用y a bx c作为模拟函数较好 g x 0 8 0 5x 1 4 例2一家报刊摊主从报社买进晚报的价格是每份0 20元 卖出的价格是每份0 30元 卖不掉的报纸还可以以每份0 08元的价格退回报社 已知在一个月 以30天计算 里 有20天每天可卖出400份 其余10天每天只卖出250份 但每天从报社买进的份数必须相同 问该摊主每天从报社买进多少份 才能使每月获得的利润最大 并计算该摊主一个月最多可赚得多
5、少元 解 设每天从报社买进x份 250 x 400 则每月共销售 20 x 10 250 份 又卖出的报纸每份获利0 10元 退回的每份亏损0 12元 退回报社10 x 250 份 依题意 每月获得的利润 f x 0 10 20 x 10 250 0 12 10 x 250 0 8x 550 f x 在 250 400 上是增函数 答 该摊主每天从报社买进400份时 才能使每月获得的利润最大 当x 400时 f x 取得最大值 最大值为870 一个月最多可赚870元 例3某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形菜温室 在温室内 沿左右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道 沿前侧内墙保留3m宽的空
6、地 当矩形温室的边长各为多少时 蔬菜的种植面积最大 最大种植面积是多少 解 设矩形温室的左侧边长为am 后侧边长为bm 则ab 800 蔬菜的种植面积 S a 4 b 2 ab 4b 2a 8 808 2 a 2b 648 仅当a 2b 即a 40 b 20时取等号 故当a 40 m b 20 m 时 ymax 648 m2 答 当矩形温室的左侧边长为40m 后侧边长为20m时 蔬菜的种植面积最大 最大种植面积为648m2 解 依题意得 于是框架用料长度 故当x约为2 343m y约为2 828m时 用料最省 例4某单位用木料制作如图所示的框架 框架的下部是边长分别为x y 单位 m 的矩形
7、上部是等腰直角三角形 要求框架围成的总面积为8m2 问x y分别为多少 精确到0 001m 时用料最省 例5某租赁公司拥有汽车100辆 当每辆车的月租金为3000元时 可全部租出 当每辆车的月租金每增加50元时 未租出的车将会增加一辆 租出的车每辆每月需要维护费150元 未租出的车每辆每月需要维护费50元 1 当每月每辆车的租金定为3600元时 能租出多少辆车 2 当每辆车的月租金定为多少元时 租赁公司的月收益最大 最大收益是多少 解 1 当每辆车的月租金定为3600元时 未租出的车辆数为 3600 3000 50 12 则租赁公司的月收益 2 设每辆车的月租金定为x x 50k k N 元
8、这时租出了88辆车 当x 4050时 f x 取最大值307050 即当每辆车的月租金定为4050元时 租赁公司的月收益最大 最大月收益是307050元 例6上因特网的费用由两部分组成 电话费和上网费 以前某 热线 上因特网的费用为电话费0 12元 3分钟 上网费0 12元 分钟 根据信息产业部调整因特网资费的要求 自1999年3月1日起 该地区上因特网的费用调整为电话费0 16元 3分钟 上网费每月不超过60小时 以4元 小时计算 超过60小时部分 以8元 小时计算 1 根据调整后的规定 将每月上因特网的费用表示为上网时间 小时 的函数 每月按30天计算 2 若某网民在其家庭经济预算中一直有
9、一笔上网60小时的费用开支 因特网资费调整后 若要不超过其家庭经济预算中上网费的支出 该网民现在每月可上网多少小时 从涨价和降价的角度分析该地区调整前后上因特网的费用情况 解 设调整后上网x小时的费用为f x 元 1 当0 x 60时 则g x 0 12 20 x 0 12 60 x 9 6x 2 设调整前上网x小时的费用为g x 元 原上网60小时的费用为9 6 60 576元 又由576 11 2x 240得 x 72 86 小时 f x 0 16 20 x 4x 7 2x 故该网民现在每月可上网约72 86小时 当x 60时 f x 4 60 0 16 20 x x 60 8 11 2x
10、 240 当0 x 60时 f x g x 调整前的上网费用高 当x 60时 由f x g x 得 x 150 又当60150时 f x g x 故上网时间小于150小时 调整前的上网费用高 上网150小时 调整前后的费用一样高 上网时间超过150小时 调整后的上网费用高 例7某地区上年度电价为0 8元 kw h 年用电量为akw h 本年度计划将电价降到0 55元 kw h至0 75元 kw h之间 而用户期望电价为0 4元 kw h 经测算 下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比 比例系数为k 该地区电力的成本价为0 3元 kw h 1 写出本年度电价下调后 电力部门的收
11、益y与实际电价x的函数关系式 2 设k 0 2a 当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20 注 收益 实际用电量 实际电价 成本价 解 1 依题意 0 55 x 0 75 本年度用电量为 a 下调电价后新增用电量为 整理得 10 x2 11x 3 0 解得 x 0 5或x 0 6 0 55 x 0 75 0 6 x 0 75 最低电价应定为0 6元 kw h 例8某摩托车生产企业 上年度生产摩托车的投入成本为1万元 辆 出厂价为1 2万元 辆 年销售量为1000辆 本年度为适应市场需求 计划提高产品档次 适度增加投入成本 若每辆车投入成本增加的比例为x 0 x 1 则出厂价
12、相应的提高比例为0 75x 同时预计年销售量增加的比例为0 6x 已知年利润 出厂价 投入成本 年销售量 1 写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式 2 为使本年度的年利润比上年有所增加 问投入成本增加的比例x应在什么范围内 解 1 依题意得 y 1 2 1 0 75x 1 1 x 1000 1 0 6x 整理得 y 60 x2 20 x 200 0 x 1 2 要保证本年度的年利润比上年有所增加 必须 此即为所求关系式 例9甲 乙两地相距s千米 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不得超过c千米 时 已知汽车每小时的运输成本 以元为单位 由可变部分和固定部分组成 可变部分与速度v
13、千米 时 的平方成正比 比例系数为b 固定部分为a元 1 把全程运输成本y 元 表示为速度v 千米 时 的函数 并指出这个函数的定义域 2 为了使全程运输成本最小 汽车应以多大速度行驶 其中0 v c 定义域为 0 c 2 依题意 s a b v均为正数 当且仅当v c时取等号 a bc2 因而a bcv a bc2 0 也即当v c时 全程运输成本y最小 综上所述 为使全程运输成本y最小 例10某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元 个 出厂价为60元 个 日销售量为1000个 为适应市场需求 计划提高蛋糕档次 适度增加成本 若每个蛋糕成本增加的百分率为x 0 x 1 则每个蛋糕的出厂价相应提高
14、的百分率为0 5x 同时预计日销售量增加的百分率为0 8x 已知日利润 出厂价 成本 日销售量 1 写出y与x的关系式 2 为使日利润有所增加 问x应在什么范围内 解 1 依题意得 y 60 1 0 5x 40 1 x 1000 1 0 8x 整理得 y 8000 x2 6000 x 20000 0 x 1 2 要保证日利润有所增加 必须 此即为所求关系式 例11有三个新兴城镇 分别位于A B C三点处 且AB AC a BC 2b 今计划合建一个中心医院 为同时方便三镇 准备建立在BC的垂直平分线上的P点处 建立坐标系如图 1 若希望点P到三镇距离的平方和最小 点P应位于何处 2 若希望点P
15、到三镇的最远距离为最小 点P应位于何处 解 1 依题意 a b 0 设P的坐标为 0 y 则P到三镇距离的平方和 f y 2 b2 y2 h y 2 故当y y 时 函数g y 取最小值 2 解法一P到三镇的最远距离是 增函数 而 h y 在 y 上是减函数 当y 0时 取最小值b 而 h y 在 y 上是减函数且 h y b 故当y 0时 函数g y 取最小值 当a2 2b2时 P点在原点 故当y y 时 函数g y 取最小值 2 解法二P到三镇的最远距离是 当y 0即h b时 z g y 的图象如图 a 故当y 0时 函数g y 取最小值 当y 0即h b时 z g y 的图象如图 b 当P在射线MA上时 记P为P1 当P在射线MA的反向延长线上时 记P为P2 这时P到三点A B C的最远距离为P1C或P2A 2 解法三 ABC中 AB AC a ABC的外心M在射线AO上 其坐标为 若h b 此时a2 2b2 则点M在线段AO上 如图 c 且P1C MC P2A MA 点P与M重合时 P到三镇的最远距离最小 若h b 此时a2 2b2 则点M在线段AO外 如图 d 这时P到三点A B C的最远距离为P1C或P2A 且P1C OC P2A OC 点P与BC边O重合时 P到三镇的最远距离最小 为b 综上所述
