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1、二次函数与方程 不等式 1 一般式 y ax2 bx c a 0 一 二次函数的解析式 2 顶点式 y a x m 2 n 其中 m n 为抛物线的顶点坐标 3 两根式 y a x x1 x x2 其中x1 x2为抛物线与x轴两交点的横坐标 注 求二次函数的解析式 一般都采用待定系数法 做题时 要根据题设条件 合理地设出解析式 二 二次函数的图象 有关知识 图象形状 对称轴 顶点坐标 与x轴交点坐标 截x轴线段长 三 二次函数的性质 四 二次函数f x ax2 bx c a 0 在 m n 上的最值 2 若x0 m n 则 1 当x0 m时 f x min f m f x max f n 2
2、当x0 n时 f x min f n f x max f m 五 不等式ax2 bx c 0恒成立问题 1 ax2 bx c 0在R上恒成立 ax2 bx c 0在R上恒成立 2 f x ax2 bx c 0 a 0 在 m n 上恒成立 f x min 0 x m n f x ax2 bx c0 在 m n 上恒成立 1 方程f x 0有两正根 六 二次方程ax2 bx c 0 a 0 的实根分布问题 记f x ax2 bx c a 0 2 方程f x 0有两负根 4 方程f x 0的两实根都小于k 3 方程f x 0有一正根一负根 c 0 5 方程f x 0的两实根一个大于k 另一个小于k
3、 f k 0 6 方程f x 0的两实根都大于k 7 方程f x 0的两实根都在区间 m n 内 8 方程f x 0的两实根中 有且只有一个在区间 m n 内 f m f n 0 或 思考方程的两根有且只有一个在区间 m n 上时等价于 9 方程f x 0的两根分别在区间 m n 和 p q n p 内 注涉及方程f x ax2 bx c 0 a 0 的实根分布问题 一般情况下要从四个方面考虑 f x 图象的开口方向 方程f x 0的判别式 区间端点处函数值的符号 f x 图象的对称轴与区间的关系 七 二次函数与方程 不等式的关系 八 典型例题 1 已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1
4、1 且f x 的最大值是8 试确定此二次函数的解析式 解法一 利用二次函数的一般式 故所求函数的解析式为f x 4x2 4x 7 设f x ax2 bx c a 0 则 解法二 利用二次函数的顶点式 设f x a x m 2 n f 2 f 1 1 抛物线的对称轴为直线x 又f x 的最大值是8 n 8 f 2 1 a 4 解法三 利用二次函数的两根式 由已知f x 1 0的两根为2和 1 故可设f x 1 a x 2 x 1 从而f x a x 2 x 1 1 即f x ax2 ax 2a 1 又f x 的最大值是8 解得a 4或a 0 舍去 故所求函数的解析式为f x 4 x 2 x 1
5、4x2 4x 7 f x 在区间 0 2 上的最小值为3 可分情况讨论如下 2 已知函数f x 4x2 4ax a2 2a 2在区间 0 2 上有最小值3 求实数a的值 f x min f 0 a2 2a 2 0 4 舍去 f x min f 2 a2 10a 18 3 已知y2 4a x a 中a 0 且当x a时 S x 3 2 y2的最小值为4 求参数a的值 解 由已知S x 3 2 y2 x 3 2 4a x a x 3 2a 2 12a 8a2 当x a时 S x x 3 2a 2 12a 8a2的最小值为4 对正数a 可分情况讨论如下 1 当3 2a1时 函数S x 在 a 上是增
6、函数 S x min S a a 3 2 由 a 3 2 4得 a 1或5 a 1 a 5 2 当3 2a a 即0 a 1时 S x min S 3 2a 12a 8a2 由12a 8a2 4得 均满足0 a 1 解 由已知 二次方程ax2 bx c 25 0有实根 b2 4a c 25 0 b c c2 24c c 25 0 解得 c 24 b 24 a 144 故a b c的取值范围分别是a 144 b 24 c 24 代入b2 4a c 25 0得 则由f x ax2 bx c的图象过点 1 0 得a b c 0 1 f 1 1 即f 1 1 得a b c 1 解 假设存在常数a b
7、c 使题中不等式对一切实数x都成立 即2ax2 x 1 2a 0与 1 2a x2 x 2a 0对一切实数x都成立 则必有 1 8a 1 2a 0 即 4a 1 2 0 从而得解 6 已知二次函数f x 2x2 4 a 1 x a2 2a 9 1 若在 1 1 上至少存在一个实数m 使得f m 0 求实数a的取值范围 2 若对 1 1 上的一切实数m 都有f m 0 求实数a的取值范围 解 f x 的图象是开口向上的抛物线 其对称轴为直线x a 1 1 问题等价于 对于x 1 1 有f x max 0 讨论如下 当a 1 0即a 1时 f x max f 1 a2 2a 15 由 a2 2a
8、15 0得 5 a 3 a 1 5 a 1 当a 1 0即a 1时 f x max f 1 a2 6a 7 由 a2 6a 7 0得 1 a 7 a 1 1 a 7 综上所述 5 a 7 即实数a的取值范围是 5 7 2 问题等价于 对于x 1 1 有f x min 0 讨论如下 当a 1 1即a 0时 f x min f 1 a2 6a 7 由 a2 6a 7 0得 1 a 7 a 0 1 a 0 当 1 a 1 1即0 a 2时 f x min f a 1 3a2 6a 7 而当0 a 2时 3a2 6a 7 0恒成立 0 a 2 注 亦可用补集法求解 综上所述 1 a 3 即实数a的取值
9、范围是 1 3 当a 1 1即a 2时 f x min f 1 a2 2a 15 由 a2 2a 15 0得 5 a 3 a 2 2 a 3 证 1 令F x f x x 由于x1 x2是方程f x x 0的两根 所以可设F x a x x1 x x2 当x 0 x1 时 由x10有 F x a x x1 x x2 0 即f x x 0 从而f x x 又x1 f x x1 x F x x1 x a x x1 x x2 x1 x 1 a x x2 x1 f x 0 从而x1 f x 故当x 0 x1 时 有x f x x1 由于x1 x2是方程f x x 0即ax2 b 1 x c 0的两根
10、ax2 1 即ax2 1 0 8 1 设方程2sin2x 4asinx 1 a 0在 0 上有两个不同的解 求实数a的取值范围 2 若不等式2sin2x 4asinx 1 a 0在 0 上恒成立 求实数a的取值范围 解 1 令t sinx 则方程2sin2x 4asinx 1 a 0在 0 上有两个不同的解等价于 方程2t2 4at 1 a 0有一根为0 另一根不在 0 1 内 或方程2t2 4at 1 a 0在 0 1 内有两等根 或方程2t2 4at 1 a 0有一解在 0 1 内 另一解在 0 1 外 当t 0时 a 1 方程2t2 4at 1 a 0的另一根为2且2 0 1 a 1适合
11、题意 方程2t2 4at 1 a 0有两等根时 由 16a2 8 1 a 0得 a 1时 方程2t2 4at 1 a 0的两等根为 1但 1 0 1 a 1不合题意 舍去 设f t 2t2 4at 1 a 则方程2t2 4at 1 a 0有一解在 0 1 内 另一解在 0 1 外等价于 f 0 f 1 0 即 1 a 3 5a 0 2 令t sinx 则不等式2sin2x 4asinx 1 a 0在 0 上恒成立等价于不等式2t2 4at 1 a 0在 0 1 上恒成立 此即为所求实数a的取值范围 解法二 分离参数 a 0 sinx 1 来求 要注意不适合题意的情况 9 已知函数f x ax2 b 8 x a ab 当x 3 2 时 f x 0 当x 3 2 时 f x 0 1 求f x 在 0 1 上的值域 2 c为何值时 ax2 bx c 0的解集为R 11 已知函数f x ax2 4x b a 0 a b R 设关于x的方程f x 0的两根分别为x1 x2 f x x的两根分别为 1 若 1 求a b满足的关系式 2 若a b均为负整数 且 1 求f x 的解析式 3 若 1 2 求证 x1 1 x2 1 7 a2 4ab 9 a 0 a b R f x x2 4x 2 a 3 b 5
