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1、函数的单调性 设函数f x 的定义域为I 一 函数的单调性 注 函数是增函数还是减函数是对定义域内某个区间而言的 有的函数在一些区间上是增函数 而在另一些区间上可能是减函数 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是增函数 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1f x2 那么就说f x 在这个区间上是减函数 如果函数y f x 在某个区间是增函数或减函数 那么就说函数y f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 这一区间叫做函数y f x 的单调区间 二 单调区间 1 取
2、值 对任意x1 x2 M 且x1 x2 三 用定义证明函数单调性的步骤 在单调区间上 增函数的图象自左向右看是上升的 减函数的图象自左向右看是下降的 2 作差 f x1 f x2 3 判定差的正负 4 根据判定的结果作出相应的结论 注 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 函数的单调区间是连续区间 若区间不连续 应分段考查 复合函数f g x 的单调性与构成它的函数u g x y f u 的单调性密切相关 其规律如下 四 复合函数的单调性 五 函数单调性的判定方法 1 定义法 主要适用于抽象函数或已知函数 2 导数法 适用于具体函数 3 图像法 4 复合函数单调性的判定 5 和函数单调性的判定
3、 6 奇偶性 7 反函数 奇函数在对称区间上具有相同的单调性 偶函数在对称区间上具有相反的单调性 互为反函数的两个函数在各自的定义域上具有相同的单调性 六 两类问题的区别 1 函数f x 的单调递增 或递减 区间是D 2 函数f x 在区间D上单调递增 或递减 不等式f x 0 0 的解集是区间D 不等式f x 0 0 对于x D恒成立 若函数f x 可导 解 函数f x 的定义域为 0 0 典型例题 求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题 但必须注意 如果函数的解析式含有参数 而且参数的取值影响函数的单调区间 这时必须对参数的取值进行分类讨论 注 这个函数的单调性十分重要 应用非常广泛
4、 它的图象如图所示 3 设函数f x kx3 3 k 1 x2 k2 1 1 当k为何值时 函数f x 的单调递减区间是 0 4 2 当k为何值时 函数f x 在 0 4 内单调递减 不等式f x 0的解集为 0 4 0与4是方程kx2 2 k 1 x 0的两根 即kx2 2 k 1 x 0的解集为 0 4 2 命题等价于kx2 2 k 1 x 0对x 0 4 恒成立 设g x kx 2 k 1 等价于kx 2 k 1 0对x 0 4 恒成立 由于g x 为单调函数 解 对f x 求导得f x 3kx2 6 k 1 x 1 函数f x 的单调递减区间是 0 4 4 已知f x 8 2x x2
5、若g x f 2 x2 试确定g x 的单调区间 解 g x 由f t 8 2t t2及t 2 x2复合而得 y f t 8 2t t2 t 1 2 9 f t 的递增区间是 1 递减区间是 1 当x 1 时 t 2 x2是增函数 这时t 1 y f t 是增函数 故当x 1 时 g x f 2 x2 是增函数 当x 1 0 时 t 2 x2是增函数 这时t 1 2 y f t 是减函数 故当x 1 0 时 g x f 2 x2 是减函数 当x 0 1 时 t 2 x2是减函数 这时t 1 2 y f t 是减函数 故当x 0 1 时 g x f 2 x2 是增函数 当x 1 时 t 2 x2
6、是减函数 这时t 1 y f t 是增函数 故当x 1 时 g x f 2 x2 是减函数 综上所述g x 的单调递增区间是 1 与 0 1 单调递减区间是 1 0 与 1 另解 g x 8 2 2 x2 2 x2 2 对g x 求导得 g x 4x x2 1 由g x 0得 x 1或0 x 1 由g x 1 故g x 的单调递增区间是 1 与 0 1 单调递减区间是 1 0 与 1 4 已知f x 8 2x x2 若g x f 2 x2 试确定g x 的单调区间 分析 这是抽象函数的单调性问题 应该用单调性定义解决 解 在R上任取x1 x2 设x1f x1 且 f x 是R上的增函数 且f
7、5 1 当x5时f x 1 若x1 x2 5 则0 f x1 f x2 1 0 f x1 f x2 1 f x2 f x1 0 F x2 F x1 若x2 x1 5 则f x2 f x1 1 f x1 f x2 1 综上 F x 在 5 上为减函数 在 5 上为增函数 f x2 f x1 0 F x2 F x1 6 已知函数f x 的定义域为 0 0 且满足条件 f xy f x f y f 2 1 当x 1时 f x 0 1 求证 f x 为偶函数 2 讨论函数的单调性 3 求不等式f x f x 3 2的解集 1 证 在 中令x y 1 得f 1 f 1 f 1 f 1 0 令x y 1
8、得f 1 f 1 f 1 f 1 0 再令y 1 得f x f x f 1 f x f x 为偶函数 先讨论f x 在 0 上的单调性 任取x1 x2 设x2 x1 0 f x2 f x1 f x 在 0 上是增函数 由 1 知 f x 在 0 上是减函数 偶函数图象关于y轴对称 3 解 f x x 3 f x f x 3 2 由 得2 1 1 f 2 f 2 f 4 f 4 1 若x x 3 0 f x 在 0 上为增函数 由f x x 3 f 4 得 2 若x x 3 0 f x 在 0 上为减函数 由f x x 3 f 4 得 原不等式的解集为 1 0 0 3 3 4 注抽象函数问题是函
9、数学习中一类比较特殊的问题 其基本方法是变量代换 换元等 应熟练掌握它们的这些特点 法二原不等式等价于f x x 3 f 4 x 0 x 3 0 由f x 在 0 上为增函数得 x x 3 4 再进一步求得解集 1 证 由已知 对任意的x1 x2 且x1 x2有 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 1 x2 x1 0 f x2 x1 1 f x2 x1 1 0 f x2 f x1 0即f x2 f x1 f x 是R上的增函数 2 解 f 4 5 令a b 2得 f 4 f 2 f 2 1 从而f 2 3 原不等式等价于f 3m2 m 2 f 2 f x 是R上的增函数 3m2 m 2 2 即3m2 m 4 0 7 函数f x 对任意a b R都有f a b f a f b 1 并且当x 0时 有f x 1 1 求证 f x 是R上的增函数 2 若f 4 5 解不等式f 3m2 m 2 3 f x 的定义域关于原点对称 且对定义域内的任意x 有 解 要使函数有意义必须 解得 1 x 1且x 0 函数f x 的定义域为 1 0 0 1 函数f x 是奇函数 1 x2 1 x1 0 1 x1 1 x2 0 即f x1 f x2 函数f x 在 0 1 内单调递减 由于f x 是奇函数 故函数f x 在 1 0 内也单调递减
