边际函数与弹性函数

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1、第巧卷第 4 期 1 99 5年12月 惠州大学学报 自然科学版 Jo urn alof H u i z ho u U nive r sity Nat Sei V o l 15 N o 4 1死e 1 9 95 边际函数与弹性函数 范慧新潘 邦兴 惠 州市 广播电视大学 1前言 边际与弹性是微分学在经济问题中应用的一个重要方面 是分析经济问题的一个重要方法 本 文对边际 和弹性的概念结合实 例进行分析 2边际函数 边际函数包括边际成本 边际 收益 边际利润等 边际问题实质是变化率的问题 边际成本就是 成本对产量的变化率 边际收益就是收益对销量的变化率等 下面以边际成本为例 理解成本函数 必须明

2、确以下 几点 l 平均 变化率与某一点 的变化率 以q表 示产量 C表 示成 本 成本是 产量的函数C一C q 产量为q到 q q时 成本的平均 变化率为 叠旦 C g 叮 一C 叮 q q 而成本在 产量为q 时 的变化率为 材C C 叮 C g 称为g一g 时的边 际成本 记作 材C g 一im 全旦 忘舟飞 q 例 1 设 某种 产 品的成 本 是 q 的函数 c 11 00 1 120 0犷 c 的单位是百元 求 1 当 q 由 90 0 个单位增 加到 10 0 0 个单位 时 总成本 的平均变化率 解 q 900 q一 100 0一90 0 一1 00 平均 成本平均变化率 C 1

3、00 0 一C 90 0 1 10 0十 1000 2 120 0 90 0 2 一 气 1 IU U 十 下下丁丈少 1 乙U U 10 0 100 0 194 4 33一17 75 10 0 1 693 即当产量由9 0 0 个单位增加到 10 0 个单位时平均每增加一台需增加成本1 69 3 百元 2 求生产90 0 台和 10 0 0 台时成本的变化率 收稿日期 1995一1 0一03 解 MC q 一c q 一 赢 户 MC 9 卜 糯 一1 S Mc 00 0 一 器 一 57 即 产量 90 0 单位时每增加一个产品 成本近似增加 1 5百元 产t 10 00单位时每增加一个产品

4、 成 本近似增加 1 66 7 百元 2 成本对产量的变化率c q 叫边际成本 记为习C 妇 当 q很小时 侧亡 q 亡 匕q 显然 q愈小 这样的误差会愈小 当 q一 时 C q C q 即由产t q 时成本对产t 的变 化率的近似值 得到 了它的精确值 即完成由t 变到质变的过程 边际成本函数材C 妇 口 q 一般q的取值不同 成本函效砧C q 的值也不同 因此 可进行 成本分析 根据不同的产出水平对生产单位产品各需增加的成本数决定增加还是减少产t 3 由于几夕C q C q 且当 q愈小愈近似 即 C 劝C q q 令 q 二1 即增加 一个单位产品 C 材C q 由此得出材C q 的经

5、济愈义 在产l为q个单位的基础上再增产 1 个单位产品 其总成本的近似增加值为材C q 为什么 近似地描述仲 呢 这是因为某些产品只能 取正整数 其最小的变化单位也只能是一个单位 q不能严格连续趋于 0 4 类似地边际收益材尺 把 妇 的意义是 当销售t 达到q时 再销咨一个单位产品 收益增 值的近似值 边际利润 材尸r 妇 尸尸 妇其经济意义与上类同 3需求弹性 需求量与多种因素有关 如价格 消费水平 收 入 其他产品价格的影响等等 因此就有各种 各 样的弹性 分别称为需求的价格弹性 需求的收入弹性 而需求的价格弹性影 响较大 下面对价格弹 性进行分析 其 他弹性类同 弹性问题是相对变化率问

6、题 需求的价格弹性主要是刻划需求盆对价格的交化的反映程度 3 1 需求弹性的计算方法 设某商品的需求函数为 q一q P 户是价格 q 是需求量 当P增加到 户 户 擂求t q 二 叭P P 一q P 和价格的相对改变量之比 应生 皇立丝 J 匕 纽 业 口 P P P 八 r t q二 二 J 二亡 当 P一 时 式巾节兴无限接近于了 P 故有 一r 一 J P 2 一卜 J I一 门 令甲 P P 渝 q P q P 一一 口 一 一 击 尸一 J一 勺注 3一 办 月 l m 尸 1 3 2 正确理解需求弹性的经济意义 q q P P 勺甲 P 即 q q P P l P 一二 尸 令 q

7、 P P 耐 二 从 二 一 17汐气闪二公石1月 f 7汐 纵U 尹 q q P 甲 P 铸 这表明 当价格为P时 若再提价 1 则销售量近似变到 抓户 铸 需求价格弹性是 自变量 为价格 的函数 一般价格不同 需求弹性的值也不同 因而 可以进 行需 求分析 以确定提价或降价 达 到最大的收益 目的 4典型应用举例 试求边 际收 益与需求弹性的关系 设 尸是价格 R 为收 益 销量 q 是价格的函数q q P 则R P q P 两边对户求得 例解 得 dR dq 了1 P 而 一 z 了 尸 而 一 尸 王 宁 万 养 一 p V表示需求的价格弹性 通常需求弹性甲总是负的 可以得 出如下的

8、结论 当 川 1 时 dR dP一叮P 1 帕 o 收入是价格的减函数 提高 降低 价格 将 会导致收入 下降 上升 当 川 O 收入是价格的增函数 提高价格 可以增加 收入 例2 设 需求函数q 1 50 0 0一7 50户 当P 5时 问应提高价格还是降低价格 才能增 加收 入 解 叭户 二遮 曳 q dP一 一7 5OP 1 50 00一750户 z 一 3 甲 5 一7 50X S 1 50 0 0一7 50又5 丫 川 R 说明 V 1 时 提 价后虽 然减少销量 但收入增加 了 例 3 如果价格函数是户一P q 需求价格 弹性甲 收益 R 一 Pq 2 求收入 最大 时的产量 V

9、为何值 解 1 尺一P p 两边对 g 求导 一5 05 需求量由 叮 150 0 0 1 试求收益与产量的关系 dR dP q dP 书 二 fr 一 I 甘 万丁一 I 又1 T一 下了 了了 u甘u甘 1 uq 1 一 I气1 t 一 下丁一 下 二 旦竺 9 dP 1 一 1 L l 一j一 气二 户少 V 一般甲 1时 契 增力 口产量可以增 力口收入 l小时 婪 增 力口产 u甘u甘 解 2 由dR dq一尸 1 1 帕 可见 要求使收入最大时产量必须满足dR dq 0 即尸 l 1 妇 0 夕一一1 所以 可以从 甲 一l入手解决这 类最优化间题 例 4 试证 当平均成本等于 边

10、际成本 时 平均成本达到最小 AC 平均成本 何C边际成本 花阳 正楠晰 d 户 尸 j 西七 立县愉皿楠击 且 l I y 孺 J 户 J 八 即己q一C 翻 月 I 沪 J 砚为声尸 1 一 勺 丫 l 丫厂多叮刁 夕月巨叫 二l j 月为 州户 月又 J 月乙 沙毛u 几 I u丫 一 U 卜IJ 一一甲1 尸一一 q 1 q c l一c q 即c l c q 因此 边际成本等于平均成本时 使平均成本达到最小 类似地从微分学 知识容易推出 当边际收益等于边际成本时 即边际利润等于 0 可使利润最 大 根据由边际分析得出的这类结论可以使我们能比较简便地解决一些最优化的间题 下面再看一 些例子 例 5 设生产某种产品总成本函数为C 妇 2护 5 q 1 8 其中产量叭单位是百件 成本C 的单位是万元 试求 1 最低平均成本时的产量 2 最低平均成本 解 丫 平均成本函数 AC 艺q 十 5 十二 q 边际成本 材C C g 49 5 当边 际成本等于平均成本时 平均成本最小 即当4 q 5 2 q 5 18 q 护一 9 q 3 百件 舍去负的 时平均成 本最小 2 AC 3 2X3 5 18 3 17 万元 即最低平均成本1 7万元