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1、第三章 三角恒等变换(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1sin 75cos 30cos 75sin 30的值为()A1 B.12C. D.22 32解析：sin 75cos 30 cos 75sin 30sin(75 30)sin 45 .22答案：C2已知 sin ，则 cos(2)( )23A B53 19C. D.19 53解析：cos(2)cos 2 (1 2sin 2)2 21 .(23) 19答案：B3若 sin ，则 cos 等于()(6 ) 13 (23
2、 2)A B79 13C. D.13 79解析：cos cos(23 2) 2(6 )cos 2sin 2 1 .2(6 ) (6 ) 79答案：A4已知 sin 且 ，那么 的值等于( )35 (2，) sin 2cos2A B.34 34C D.32 32解析：sin ， ，35 (2，)cos ，tan .45 34 2tan .sin 2cos2 2sin cos cos2 32答案：C5函数 f(x)sin 2x cos 2x 的最小正周期是()A. B42C2 D解析：f(x) sin 2x cos 2x sin ，2 (2x 4)故 T .22答案：D6若 tan 3 ，tan
3、，tan()等于()43A. B13 13C3 D3解析：tan( ) .tan tan 1 tan tan 3 431 343 13答案：A7要使 sin cos 有意义，则有()34m 64 mAm Bm173Cm1 或 m D1m 73 73解析：sin cos 2 2sin .3 (12sin 32cos ) ( 3) 2 2.4m 64 m当 4m0 时，即 m4 时，Error!Error!无解 1 m .73答案：D8已知 和 都是锐角，且 sin ，cos() ，则 sin 的值为()513 45A. B.3365 1665C. D.5665 6365解析：由题意得 cos ，
4、sin() (因为 1)的两根为 tan ，tan ，且 ， ，则( 2，2)tan 的值是() 2A. B212C. D. 或243 12解析：由题意知：Error!tan() ，tan tan 1 tan tan 4a1 3a 1 43tan() ，2tan 21 tan2 2 43tan 或 tan 2. 2 12 2由 a1，可得tan tan 4a0 ，tan 0，tan 0，结合 ， ，( 2，2)， ， ，( 2，0) 2 ( 2，0)tan 0，故 tan 2， 选 B. 2 2答案：B二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分请把正确答案填在题中横线上)13
5、已知 sin ，则 sin 2x 的值为_(4 x) 35解析：sin 2x cos cos 2(2 2x) (4 x)12sin 2 .(4 x) 725答案：72514若 2 013，则 tan 2_.1 tan 1 tan 1cos 2解析： 2 013， tan 2 1 tan 1 tan 1cos 2 1 tan21 tan2 2tan 1 tan2 1 tan 21 tan22 013.1 tan 1 tan 答案：2 01315函数 ysin x(sin x cos x)(xR )的最大值是_3解析：ysin x(sin x cos x)3sin 2x sin xcos x si
6、n 2x31 cos 2x2 32 sin .12 (2x 6) 32答案：3216已知 sin ，则 sin _.(x 6) 33 (56 x) sin2(3 x)解析：sin sin 2(56 x) (3 x)sin cos 2 (56 x) 2 (3 x)sin 1sin 2(x 6) (x 6) 1 .33 13 2 33答案：2 33三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)化简： .2cos2 12tan(4 )sin2(4 )解析：方法一：原式2cos2 12sin(4 )cos(4 )sin2(4 )
7、2cos2 12sin(4 )cos(4 )cos2(4 ) 1.2cos2 1sin(2 2) cos 2cos 2方法二：原式cos 221 tan 1 tan ( 22sin 22cos )2cos 2cos sin cos sin sin cos 2cos 2cos sin cos sin 1.cos 2cos2 sin2 cos 2cos 218(本小题满分 12 分)已知 sin sin ， ，求 的值(4 ) (4 ) 16 (2，) sin 41 cos2解析：sin sin ，(4 ) (4 ) 16sin cos ，sin ，(4 ) (4 ) 16 (2 2) 13即 c
8、os 2 .13又 ，2(，2)，(2，)sin 2 .1 cos221 (13)2 223 sin 41 cos2 2sin 2cos 21 1 cos 222( 223) 131 1132 .421519(本小题满分 12 分)(1)求值： ；cos 40 sin 501 3tan 10sin 701 sin 50(2)求证： .2 2sin( 34)cos( 4)cos4 sin4 1 tan 1 tan 解析：(1)cos 40 sin 501 3tan 10sin 701 sin 50cos 40 sin 50(1 3sin 10cos 10)cos 201 cos 40cos 40
9、 cos 402sin10 30cos 102cos220 .cos 40 12cos220 2(2)证明：左边2 2sin( 4 2)cos( 4)cos2 sin2cos2 sin22 2cos2( 4)cos2 sin21 cos(2 2)cos2 sin21 sin 2cos2 sin2sin cos 2cos sin cos sin cos sin cos sin 1 tan 1 tan 右边原式成立20(本小题满分 12 分)已知 cos ， 且 ， .( 2) 277 sin(2 ) 12 (2，) (0，2)求：(1)cos ；(2)tan( ) 2解析：(1) ，0 ，2 2
10、 ， .4 2 42 2sin ，( 2) 1 cos2( 2) 217cos .(2 ) 1 sin2(2 ) 32cos cos 2 ( 2) (2 )cos cos sin sin( 2) (2 ) ( 2) (2 ) ( 277) 32 217 12 .2114(2) ，4 2 34sin . 2 1 cos2 2 5714tan . 2sin 2cos 2 533tan() .2tan 21 tan2 2 531121(本小题满分 13 分)点 P 在直径为 AB1 的半圆上移动，过点 P 作圆的切线 PT，且 PT 1，PAB ，问 为何值时，四边形 ABTP 的面积最大？解析：如
11、图因为 AB 为直径，PT 切圆于 P 点，所以APB90，PAcos ，PBsin ，S 四边形 ABTPS PABS TPB PAPB PTPBsin 12 12 sin cos sin2 sin 212 12 14 1 cos 24 (sin 2cos 2 ) sin .14 14 24 (2 4) 14因为 0 ，2所以 2 ，4 434所以当 2 ，4 2即 时，四边形 ABTP 的面积最大3822(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)2 sin xcos x2cos 2x1(xR )3(1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间 上的最大值和最小值；0，2(2)若 f(x0) ，
12、 x0 ，求 cos 2x0 的值65 4，2解析：(1)由 f(x)2 sin xcos x2cos 2x1，3得 f(x) (2sin xcos x)(2cos 2x1) sin 2xcos 2x2sin .3 3 (2x 6)函数 f(x)的最小正周期为 .f(x)2sin 在区间 上为增函数，在区 间 上为减函数，又 f(0)(2x 6) 0，6 6，21， f 2，(6)f 1， 函数 f(x)在区间 上的最大值为 2，最小 值为 1.(2) 0，2(2)由(1)可知 f(x0)2sin .(2x0 6)又 f(x0) ，sin .65 (2x0 6) 35由 x0 ，4，2得 2x0 .6 23，76从而 cos .(2x0 6) 1 sin2(2x0 6) 45cos 2x0cos (2x0 6) 6cos cos sin sin .
