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1、第三章 三角恒等变换(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1sin 75cos 30cos 75sin 30的值为()A1 B.12C. D.22 32解析:sin 75cos 30 cos 75sin 30sin(75 30)sin 45 .22答案:C2已知 sin ,则 cos(2)( )23A B53 19C. D.19 53解析:cos(2)cos 2 (1 2sin 2)2 21 .(23) 19答案:B3若 sin ,则 cos 等于()(6 ) 13 (23
2、 2)A B79 13C. D.13 79解析:cos cos(23 2) 2(6 )cos 2sin 2 1 .2(6 ) (6 ) 79答案:A4已知 sin 且 ,那么 的值等于( )35 (2,) sin 2cos2A B.34 34C D.32 32解析:sin , ,35 (2,)cos ,tan .45 34 2tan .sin 2cos2 2sin cos cos2 32答案:C5函数 f(x)sin 2x cos 2x 的最小正周期是()A. B42C2 D解析:f(x) sin 2x cos 2x sin ,2 (2x 4)故 T .22答案:D6若 tan 3 ,tan
3、,tan()等于()43A. B13 13C3 D3解析:tan( ) .tan tan 1 tan tan 3 431 343 13答案:A7要使 sin cos 有意义,则有()34m 64 mAm Bm173Cm1 或 m D1m 73 73解析:sin cos 2 2sin .3 (12sin 32cos ) ( 3) 2 2.4m 64 m当 4m0 时,即 m4 时,Error!Error!无解 1 m .73答案:D8已知 和 都是锐角,且 sin ,cos() ,则 sin 的值为()513 45A. B.3365 1665C. D.5665 6365解析:由题意得 cos ,
4、sin() (因为 1)的两根为 tan ,tan ,且 , ,则( 2,2)tan 的值是() 2A. B212C. D. 或243 12解析:由题意知:Error!tan() ,tan tan 1 tan tan 4a1 3a 1 43tan() ,2tan 21 tan2 2 43tan 或 tan 2. 2 12 2由 a1,可得tan tan 4a0 ,tan 0,tan 0,结合 , ,( 2,2), , ,( 2,0) 2 ( 2,0)tan 0,故 tan 2, 选 B. 2 2答案:B二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分请把正确答案填在题中横线上)13
5、已知 sin ,则 sin 2x 的值为_(4 x) 35解析:sin 2x cos cos 2(2 2x) (4 x)12sin 2 .(4 x) 725答案:72514若 2 013,则 tan 2_.1 tan 1 tan 1cos 2解析: 2 013, tan 2 1 tan 1 tan 1cos 2 1 tan21 tan2 2tan 1 tan2 1 tan 21 tan22 013.1 tan 1 tan 答案:2 01315函数 ysin x(sin x cos x)(xR )的最大值是_3解析:ysin x(sin x cos x)3sin 2x sin xcos x si
6、n 2x31 cos 2x2 32 sin .12 (2x 6) 32答案:3216已知 sin ,则 sin _.(x 6) 33 (56 x) sin2(3 x)解析:sin sin 2(56 x) (3 x)sin cos 2 (56 x) 2 (3 x)sin 1sin 2(x 6) (x 6) 1 .33 13 2 33答案:2 33三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)化简: .2cos2 12tan(4 )sin2(4 )解析:方法一:原式2cos2 12sin(4 )cos(4 )sin2(4 )
7、2cos2 12sin(4 )cos(4 )cos2(4 ) 1.2cos2 1sin(2 2) cos 2cos 2方法二:原式cos 221 tan 1 tan ( 22sin 22cos )2cos 2cos sin cos sin sin cos 2cos 2cos sin cos sin 1.cos 2cos2 sin2 cos 2cos 218(本小题满分 12 分)已知 sin sin , ,求 的值(4 ) (4 ) 16 (2,) sin 41 cos2解析:sin sin ,(4 ) (4 ) 16sin cos ,sin ,(4 ) (4 ) 16 (2 2) 13即 c
8、os 2 .13又 ,2(,2),(2,)sin 2 .1 cos221 (13)2 223 sin 41 cos2 2sin 2cos 21 1 cos 222( 223) 131 1132 .421519(本小题满分 12 分)(1)求值: ;cos 40 sin 501 3tan 10sin 701 sin 50(2)求证: .2 2sin( 34)cos( 4)cos4 sin4 1 tan 1 tan 解析:(1)cos 40 sin 501 3tan 10sin 701 sin 50cos 40 sin 50(1 3sin 10cos 10)cos 201 cos 40cos 40
9、 cos 402sin10 30cos 102cos220 .cos 40 12cos220 2(2)证明:左边2 2sin( 4 2)cos( 4)cos2 sin2cos2 sin22 2cos2( 4)cos2 sin21 cos(2 2)cos2 sin21 sin 2cos2 sin2sin cos 2cos sin cos sin cos sin cos sin 1 tan 1 tan 右边原式成立20(本小题满分 12 分)已知 cos , 且 , .( 2) 277 sin(2 ) 12 (2,) (0,2)求:(1)cos ;(2)tan( ) 2解析:(1) ,0 ,2 2
10、 , .4 2 42 2sin ,( 2) 1 cos2( 2) 217cos .(2 ) 1 sin2(2 ) 32cos cos 2 ( 2) (2 )cos cos sin sin( 2) (2 ) ( 2) (2 ) ( 277) 32 217 12 .2114(2) ,4 2 34sin . 2 1 cos2 2 5714tan . 2sin 2cos 2 533tan() .2tan 21 tan2 2 531121(本小题满分 13 分)点 P 在直径为 AB1 的半圆上移动,过点 P 作圆的切线 PT,且 PT 1,PAB ,问 为何值时,四边形 ABTP 的面积最大?解析:如
11、图因为 AB 为直径,PT 切圆于 P 点,所以APB90,PAcos ,PBsin ,S 四边形 ABTPS PABS TPB PAPB PTPBsin 12 12 sin cos sin2 sin 212 12 14 1 cos 24 (sin 2cos 2 ) sin .14 14 24 (2 4) 14因为 0 ,2所以 2 ,4 434所以当 2 ,4 2即 时,四边形 ABTP 的面积最大3822(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)2 sin xcos x2cos 2x1(xR )3(1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间 上的最大值和最小值;0,2(2)若 f(x0) ,
12、 x0 ,求 cos 2x0 的值65 4,2解析:(1)由 f(x)2 sin xcos x2cos 2x1,3得 f(x) (2sin xcos x)(2cos 2x1) sin 2xcos 2x2sin .3 3 (2x 6)函数 f(x)的最小正周期为 .f(x)2sin 在区间 上为增函数,在区 间 上为减函数,又 f(0)(2x 6) 0,6 6,21, f 2,(6)f 1, 函数 f(x)在区间 上的最大值为 2,最小 值为 1.(2) 0,2(2)由(1)可知 f(x0)2sin .(2x0 6)又 f(x0) ,sin .65 (2x0 6) 35由 x0 ,4,2得 2x0 .6 23,76从而 cos .(2x0 6) 1 sin2(2x0 6) 45cos 2x0cos (2x0 6) 6cos cos sin sin .