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1、第一章 平面向量(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列说法正确的是()A向量可以比较大小B坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量C向量就是有向线段D距离、密度和时间都不是向量解析:答案:D2右图所示的方格纸中有定点 O,P,Q ,E,F,G,H,则 ()OP OQ A. B.OH OG C. D.FO EO 解析:利用平行四边形法则作出向量 ,再平移即可发现 .OP OQ OP OQ FO 答案:C3下列说法正确的是()A两个单位向量的数量积为 1B若 abac,且
2、a0,则 bcC AB OA OB D若 bc,则(ac )bab解析:A 中,两向量的夹角不确定,故 A 错;B 中,若 ab,ac,b 与 c 反方向,则不成立,故 B 错; C 中, 应为 ,故 C 错;D 中,因为 bc,所以 bc0,所以AB OB OA (ac)b a b cbab,故 D 正确答案:D4设 (2,3), (m,n) , (1,4) ,则 等于()AB BC CD DA A(1m, 7n ) B(1m ,7n)C(1m,7n) D( 1m,7n)解析: (1m, 7n),而 .AB BC CD AD DA AD 答案:B5已知 A(4,6),B ,有下列向量:( 3
3、,32)a ; b ; c ;d(7,9)(143,3) (7,92) ( 143, 3)其中,与直线 AB 平行的向量是()A BC D解析: .AB ( 7, 92) ,(143,3) 23( 7, 92) 23AB ,(7,92) ( 7, 92) AB ,( 143, 3) 23AB 与直 线 AB 平行的向量是.答案:C6设|a |12, |b|9,ab54 ,则 a 和 b 的夹角 等于()2A45 B120C135 D165解析:cos ,ab|a|b| 542129 22又 0,180,135.答案:C7如图,M,N 分别是 AB,AC 的一个三等分点,且 ( )成立,则 ()
4、MN AC AB A. B.12 13C. D23 13解析:由 ,且 ,得 .MN 13BC BC AC AB 13答案:B8已知向量 a(1,n),b(1,n) ,若 2ab 与 b 垂直,则|a|等于()A1 B. 2C2 D4解析:由于 2ab 与 b 垂直, 则(2ab)b0,即(3,n)(1,n)3n 20.解得 n .3所以 a(1, )所以|a| 2.3 1 32答案:C9已知 AD,BE 分别为ABC 的边 BC,AC 上的中线,设 a, b,则 等AD BE BC 于( )A. a b43 23B. a b23 43C. a b23 43D a b23 43解析: 2 2
5、BC BD (23BE 13AD ) 43BE 23AD a b.23 43答案:B10已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(1,2) ,C(3,1),且 2 ,则顶BC AD 点 D 的坐标为()A. B.(2,72) (2, 12)C(3,2) D(1,3)解析:设 D(x,y),则 (4,3), (x, y2),BC AD 又 2 ,故Error!解得Error!BC AD 答案:A11两个大小相等的共点力 F1,F 2,当它们的夹角为 90时,合力的大小为 20 N,则当它们的夹角为 120时,合力的大小为()A40 N B10 N2C20 N D. N2 10解析:对于
6、两个大小相等的共点力 F1,F2,当它们的夹角为 90,合力的大小为 20 N时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是 10 N;当它 们的夹角为 120时,由三角形法2则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小 为 10 N.2答案:B12在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1),B(1,3),若点 C 满足 ,其中 ,R ,且 1,则点 C 的轨迹方程为()OC OA OB A3x2y110 B(x1) 2(y2) 25C2x y0 Dx2y50解析:设 (x, y)OC (3 ,), ( ,3),OA OB (3 ,3)OA OB (x,y)(3 ,3)Error
7、!又 1, x2y5.答案:D二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分请把正确答案填在题中横线上)13有下列说法:若 ab,则 a 一定不与 b 共线;若 ,则 A,B ,C ,D 四点是平行四边形的四个顶点;AB DC 在ABCD 中,一定有 ;AD BC 若向量 a 与任一向量 b 平行,则 a0;若 ab,bc,则 ac ;共线向量是在一条直线上的向量其中,正确的说法是_解析:对于,两个向量不相等,可能是长度不相等,方向相同或相反,所以 a 与 b有共线的可能,故不正确;对于 ,A,B,C,D 四点可能在同一条直线上,故 不正确;对于 ,在 ABCD 中,| | |,
8、 与 平行且方向相同,所以 ,故 正确;AD BC AD BC AD BC 对于 ,零向量的方向是任意的,与任一向量平行,故正确;对于 ,ab,则|a| |b|,且 a 与 b 方向相同;bc ,则|b| |c| ,且 b 与 c 方向相同,所以a 与 c 方向相同且模相等,故 ac,故 正确;对于 ,共 线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故不正确答案:14通过点 A(1,2) 且平行于向量 a(3,2)的直线为_解析:设 P(x,y)为所求直线 上任意一点,由 题意知 a,而 ( x1,y2),AP AP a(3,2),(x 1)2(y 2)30,化简得 2x3
9、y80,即为所求直线的方程答案:2x3y 8015已知 O,A,B 是平面上的三点,直线 AB 上有一点 C,满足 2 0,若AC CB ,则 _.OC OA OB 解析:由 2 0,AC CB 得 2( )( ) 0,则 2 .OC OA OB OC OC OA OB 2,1 , 3.答案:316已知向量 a,b 的夹角为 45,且| a|4, (2a3b)12,则(12a b)|b|_ , b 在 a 方向上的投影等于 _解析: (2a3b)12,且|a| 4, a,b45 ,3|b|2 |b|40,|b| ,(12a b) 2 2或|b | (舍 )b 在 a 方向上的投影为|b|cos
10、a, b1.223答案: 12三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)设|a|b| 1,|3a2b|3,求|3 ab|的值解析:方法一:|3 a2b| 3,9a212 ab4b 29.又 |a|b| 1,ab .13|3ab |2(3ab) 29a 26a bb 296 112.13|3ab |2 .3方法二:设 a(x 1,y1),b(x 2,y2)|a| b|1, x y x y 1.21 21 2 23a2 b(3x 12x 2,3y12y 2),|3a2 b| 3.3x1 2x22 3y1 2y22x1x2
11、y 1y2 .13|3ab | 3x1 x22 3y1 y22 2 .9 1 613 318(本小题满分 12 分)如右图,在平面直角坐标系中,| |2| |2,OAB ,OA AB 23( 1, )BC 3(1)求点 B,C 的坐标;(2)求证:四边形 OABC 为等腰梯形解析:(1)设 B(xB,yB),则 xB| | |cos(OAB) ,yB| |sin(OAB) OA AB 52 AB ,32 (1, ) ,OC OB BC (52,32) 3 (32,332)B ,C .(52,32) (32,332)(2)证明:连接 OC. , ,OC (32,332) AB (12,32) 3
12、 , .OC AB OC AB 又| | |,| | |2,OC AB OA BC 四 边形 OABC 为等腰梯形19(本小题满分 12 分)已知向量 a,b 不共线,ck ab,dab,(1)若 cd,求 k 的值,并判断 c,d 是否同向;(2)若|a|b|,a 与 b 夹角为 60,当 k 为何值时,cd.解析:(1)cd,故 c d,即 kab(ab)又 a,b 不共线,则Error!解得Error!即 cd,故 c 与 d 反向(2)cd( kab)(ab)k a2 kaba bb 2(k1)a 2(1k)|a| 2cos 60(k1) a2a2.1 k2又 cd,故( k1)a 2 a20.1 k2即(k1) 0,解得 k 1.1 k220(本小题满分 12 分)在OAB 的边 OA,OB 上分别有一点 P,Q ,已知OPPA12 ,OQQB 32,连接 AQ,BP,设它们交于点 R,若 a, b.OA OB (1)用 a 与 b 表示 ;OR (2)若|a|1,|b |2,a 与 b 夹角为 60,过 R 作 RHAB 交 AB 于点 H,用 a,b 表示.OH 解析:(1) a, b,OP 13OA 13 OQ 35由 A,R,Q 三点共 线,可设 m .AR AQ 故 am am ( )OR OA AR AQ OQ OA am (1