《山东省烟台市高三数学一轮复习专题函数性质、抽象函数、分段函数.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山东省烟台市高三数学一轮复习专题函数性质、抽象函数、分段函数.pdf（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 函数的基本性质及其应用 一 利用函数的性质求函数的值域 1 一次函数y kx b k 0 的值域为R 2 二次函数的值域 当a 0 时 y 4a 当 a 0 时 y 4a 3 反比例函数的值域 y 0 4 指数函数的值域为 0 对数函数的值域为R 5 正弦 余弦函数的值域为 1 1 即有界性 正切余切函数的值域为R 6 值域的相关求法 配方法 零点讨论法 函数图象法 利用求反函数的定义域法 换元法 利用函数 的单调性和有界性法 分离变量法 例题 求下列函数的值域 1 利用求反函数的定义域求值域 或者分离变为反比例函数 先求其反函数 f 1 x 3x 1 x 2 其中 x 2 由其反函数的定
2、义域 可得原函数的值域是y y R y 2 2 利用反比例函数的值域不等于0 或者反函数法 2 因此 原函数的值域为 1 2 4 利用分离变量法和换元法 然后用反函数法 或者换元后分离 设法 2 x t 其中 t 0 则原函数可化为y t 1 t 1 t y 1 y 1 y 1 或 y 1 5 利用零点讨论法 由题意可知函数有3 个零点 3 1 2 当 x9 当 3 x 1 时 y x 1 x 3 x 2 x 6 5 y 9 当 1 x 2 时 y x 1 x 3 x 2 x 4 5 y 6 当 x 2 时 y x 1 x 3 x 2 3x y 6 综合前面四种情况可得 原函数的值域是 5 6
3、 利用函数的有界性 3 二 函数的单调性及应用 1 A 为函数 f x 定义域内某一区间 2 单调性的判定 作差f x1 f x2 判定 根据函数图象判定 3 复合函数的单调性的判定 f x g x 同增 同减 f g x 为增函数 f x g x 一增 一减 f g x 为减函数 例 1 设 a 0 且 a 1 试求函数y loga 4 3x x 2 的单调递增区间 解析 由题意可得原函数的定义域是 设 u 4 3x x 2 其对称轴是 x 3 2 所以函数u 4 3x x 2 在区间 3 2 上单调递增 在区间 3 2 4 上单调递减 a 时 y logau 在其定义域内为增函数 由 x
4、u y 得函数u 4 3x x 2 的单调递增区间 3 2 即为函数y loga 4 3x x 2 的单调递增区间 a 时 y logau 在其定义域内为减函数 4 由 x u y 得函数u 4 3x x 2 的单调递减区间 3 2 4 即为函数y loga 4 3x x 2 的单调递增区间 例 2 已知 y loga 2 ax 在 0 1 上是 x 的减函数 求a 的取值范围 解析 由题意可知 a 设u g x 2 ax 则 g x 在 上是减函数 且x 时 g x 有最小值 umin 2 a 又因为 u g x 2 ax 所以 只要 umin 2 a 则可 得a 又 y loga 2 ax
5、 在 0 1 上是 x 减函数 u g x 在 上是减函数 即 x u y 所以 y logau 是增函数 故a 综上所述 得 a 2 例 3 已知 f x 的定义域为 且在其上为增函数 满足f xy f x f y f 2 1 试解不 等式 f x f x 2 3 解析 此题的关键是求函数值 所对应的自变量的值 由题意可得 f 4 f 2 f 2 2 3 2 1 f 4 f 2 f 4 2 f 8 又 f x f x 2 f x 2 2x 所以原不等式可化成f x 2 2x f 8 所以原不等式的解集为 x 2 x 4 三 函数的奇偶性及应用 1 函数 f x 的定义域为D x D f x
6、f x f x 是偶函数 f x f x 是奇函数 2 奇偶性的判定 作和差f x f x 0 判定 作商f x f x 1 f x 0 判定 3 奇 偶函数的必要条件是 函数的定义域关于原点对称 4 函数的图象关于原点对称奇函数 函数的图象关y 轴对称偶函数 5 函数既为奇函数又为偶函数 f x 0 且定义域关于原点对称 6 复合函数的奇偶性 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 例 1 判断函数的奇偶性 2 2 1 1 0 2 1 1 0 2 xx g x xx 5 解 当x 0 时 x 0 于是 22 11 1 1 22 gxxxg x 当x 0 时 x 0 于是
7、222 111 11 1 222 gxxxxg x 综上可知 g x是奇函数 练习 1 证明 0 32 0 0 32 2 2 xxx xxx xf 是奇函数 例 2 xf为 R上的偶函数 且当 0 x时 1 xxxf 则当 0 x时 xfx x 1 若 f x 是奇函数呢 例 3 已知函数 2 2 1 3f xmxmx是偶函数 求实数m的值 答案1m 练习 已知函数f x ax 2 bx 3a b 是偶函数 且其定义域为 a 1 2a 则 a 1 3 b 0 例 4 已知函数 53 8f xxaxbx 若 2 10f 求 2 f的值 答案 2 26f 四 函数的周期性及应用 1 设函数y f
8、x 的定义域为D x D 存在非 0常数 T 有 f x T f x f x 为周期函数 T 为 f x 的一个周期 2 正弦 余弦函数的最小正周期为2 函数 y Asin x 和 y Acos x 的最小正周期 是 T 2 3 正切 余切函数的最小正周期为 函数y Atan x 和 y Acot x 的周期是 T 4 周期的求法 定义域法 公式法 最小公倍数法 利用函数的图象法 5 一般地 sin x 和 cos x 类函数加绝对值或平方后周期减半 tan x 和 cot x 类函数加绝对值或 平方后周期不变 如 y cos2x 的周期是 2 y cotx 的周期是 例 1 设 f x 是
9、上周期为2 的奇函数 当0 x 1 时 f x x 求 f 7 5 解析 由题意可知 f 2 x f x f 7 5 f 8 0 5 f 0 5 f 0 5 例 2 设 xf是定义在区间 上且以 2 为周期的函数 对Zk 用 k I表示区间 12 12 kk已 6 知当 0 Ix时 2 xxf求 xf在 k I上的解析式 解 设1211212 12 12 kxkxkkkx 0 Ix时 有 22 2 2 121 kxkxfkxxxf得由 xf是以 2 为周期的函数 2 2 2 kxxfxfkxf 例 3 设 xf是定义在 上以 2 为周期的周期函数 且 xf是偶函数 在区间3 2上 4 3 2
10、2 xxf求2 1x时 xf的解析式 解 当2 3x 即3 2x 4 3 24 3 2 22 xxxfxf 又 xf是以 2 为周期的周期函数 于是当2 1x 即243x时 21 4 1 243 4 2 4 2 2 xxxxf xfxf有 21 4 1 2 2 xxxf 例 4 已知 xf的周期为4 且等式 2 2 xfxf对任意 Rx 均成立 判断函数 xf的奇偶性 解 由 xf的周期为4 得 4 xfxf 由 2 2 xfxf得 4 xfxf xfxf故 xf为偶函数 7 分段函数 例 1 求函数 43 0 3 01 5 1 xx fxxx xx 的最大值 解析 当0 x时 max 0 3
11、fxf 当01x时 max 1 4fxf 当1x时 51 54x 综上有 max 4fx 例 2 在同一平面直角坐标系中 函数 yf x和 yg x的图象关于直线yx对称 现将 yg x 的图象沿x轴向左平移2 个单位 再沿y轴向上平移1个单位 所得的图象是由两条线段组成的折线 如 图所示 则函数 f x的表达式为 答案 A 2 22 10 2 02 x xx Af x x 2 22 10 2 02 x xx Bf x x 2 22 12 1 24 x xx Cf x x 2 26 12 3 24 x xx Df x x 例 3 判断函数 2 2 1 0 1 0 xxx f x xxx 的奇偶
12、性 解析 当 0 x 时 0 x 22 1 1 fxxxxxf x 当0 x时 0 0 0ff 当0 x 0 x 22 1 1 fxxxxxfx因此 对 于任意xR都有 fxfx 所以 fx为偶函数 例 4 判断函数 3 2 0 0 xx x f x xx 的单调性 解析 显然 f x连续 当0 x时 2 311fxx恒成立 所以 f x是单 1 2 1 3 1 o 2 y x y x 5 2 o 1 2 5 2 8 调递增函数 当 0 x 时 20fxx恒成立 f x也是单调递增函数 所以 f x在R上是单 调递增函数 或画图易知 f x在R上是单调递增函数 例 5 写出函数 12 2 f
13、xxx的单调减区间 解析 1 2 1 2 31 3 2 31 2 xx f xxx xx 画图易知单调减区间为 1 2 例 6 设函数 1 2 21 0 0 x x fx xx 若 0 1f x 则 0 x得取值范围是 答案 D 1 1 A 1 B 2 0 C 1 1 D 例 7 设函数 2 1 1 41 1 xx f x xx 则使得 1fx的自变量x的取 值范围为 A 2 0 10 B 2 0 1 C 2 1 10 D 2 0 1 10 解析 当1x时 2 1 1 120f xxxx或 所 以21xx或0 当1x时 14111310f xxxx 所以110 x 综上所述 2x或010 x
14、故选 A项 x y 1 11 9 抽象函数 f x 有关问题 一 利用函数性质 解 fx的有关问题 1 判断函数的奇偶性 例 1 已知 2 f xyfxyf x fy 对一切实数x y都成立 且 0 0f 求证 f x为偶函数 证明 令x 0 则已知等式变为 2 0 fyfyffy 在 中令 y 0 则 2 0 f 2 0 f 0 f 0 0 f 1 2 fyfyf y fyfy f x为偶函数 2 求参数的取值范围 例 2 奇函数 fx在定义域 1 1 内递减 求满足 2 1 1 0fmfm的实数m的取值范围 解 由 2 1 1 0fmfm得 2 1 1 fmfm f x为函数 2 1 1
15、fmf m 又 f x在 1 1 内递减 2 2 111 11101 11 m mm mm 3 解不定式 例 3 如果 f x 2 axbxc对任意的t有 2 2 ftft 比较 1 2 4 fff 的大小 解 对任意t有 2 2 ftft x 2 为抛物线y 2 axbxc的对称轴 又 其开口向上 f 2 最小 f 1 f 3 在 2 上 fx为增函数 f 3 f 4 f 2 f 1 0 时 0 f x 1 1 判断 f x 的单调性 2 设 若 试确定a 的取值范围 解 1 在中 令 得 因为 所以 在中 令 因为当时 所以当时 而所以 又当 x 0 时 所以 综上可知 对于任意 均有 1
16、3 设 则 所以 所以在 R上为减函数 2 由于函数y f x 在 R上为减函数 所以 即有又 根据函数的单调性 有 由 所以直线与圆面无公共点 因此有 解得 三 五类题型及解法 当练习使用 1 线性函数型抽象函数 例 1 已知函数f x 对任意实数x y 均有 f x y f x f y 且当x 0 时 f x 0 f 1 2 求 f x 在区间 2 1 上的值域 分析 由题设可知 函数f x 是的抽象函数 因此求函数f x 的值域 关键在于研究 它的单调性 解 设 当 即 f x 为增函数 在条件中 令y x 则 再令 x y 0 则 f 0 2 f 0 f 0 0 故 f x f x f x 为奇函数 f 1 f 1 2 又 f 2 2 f 1 4 f x 的值域为 4 2 例 2 已知函数f x 对任意 满足条件f x f y 2 f x y 且当x 0 时 f x 2 f 3 5 求不等式的解 分析 由题设条件可猜测 f x 是 y x 2 的抽象函数 且f x 为单调增函数 如果这一猜想正确 也就可以脱去不等式中的函数符号 从而可求得不等式的解 解 设 当 则 14 即 f
