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1、1 2015 年山东省德州市高考数学一模试卷 理科 一 选择题 50 分 1 设复数z 的共轭复数为 若 2 i z 3 i 则的值为 A 1 B 2 C D 4 2 设全集U x N x 6 集合 A l 3 B 3 5 则 UA UB A 2 4 B 2 4 6 C 0 2 4 D 0 2 4 6 3 p 为假命题 是 p q 为真命题 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4 执行如图所示的程序框图 若输入数据n 5 a1 1 a2 2 a3 3 a4 4 a5 5 则输出的 结果为 A 1 B 2 C 3 D 4 5 若函数f x a 2x
2、4 g x log a x a 0 且 a 1 且 f 2 g 2 0 则函数 f x g x 在同一坐标系中的大致图象是 A B C D 6 已知抛物线y 2 8x 与双曲线 y 2 1的一个交点为 M F 为抛物线的焦点 若 MF 5 则该双曲线的渐近线方程为 2 A 5x 3y 0 B 3x 5y 0 C 4x 5y 0 D 5x 4y 0 7 棱长为2 的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示 那么被截去的几何体的体 积是 A B C 4 D 3 8 已知 D是不等式组所确定的平面区域 则圆x 2 y2 4 与 D围成的区域面积为 A B C D 9 设 m n 是正整数 多项式
3、1 2x m 1 5x n 中含 x 一次项的系数为 16 则含 x 2 项的系数是 A 13 B 6 C 79 D 37 10 已知函数f x 是定义在R上的奇函数 其导函数为f x 当 x 0 时 2f x xf x 0 恒成立 则f 1 2014 2015在大小关系为 A 2015 2014 f 1 B 2015 f 1 2014 C f 1 2015 2014 D f 1 2014 2015 二 填空题 25 分 11 某校对全校1600 名男女学生的视力状况进行调查 现用分层抽样的方法抽取一个容量 是 200 的样本 已知女生比男生少抽10 人 则该校的女生人数是人 12 13 若不
4、等式 x 1 2x 1 a 恒成立 则a 的取值范围是 3 14 将函数f x 2sin x 0 的图象向左平移个单位 得到函数y g x 的图象 若y g x 在 0 上为增函数 则 的最大值为 15 设函数 f x g x 的定义域分别为DJ DE 且 DJ DE 若对于任意x DJ 都有 g x f x 则称函数g x 为 f x 在 DE上的一个延拓函数 设f x e x x 1 x 0 g x 为 f x 在 R上的一个延拓函数 且g x 是奇函数 给出以下命题 当 x 0时 g x e x x 1 函数 g x 有 5 个零点 g x 0 的解集为 1 0 1 函数 g x 的极大
5、值为1 极小值为 1 x1 x2 R 都有 g x1 g x2 2 其中正确的命题是 填上所有正确的命题序号 三 解答题 75 分 16 在 ABC中 角 A B C对边分别是a b c 满足 1 求角 A的大小 2 求 sinA sinB sinC 的最大值 并求取得最大值时角B C的大小 17 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为4 D为的 CC1中点 1 求证 AB1 平面 A1BD 2 求二面角A A1D B的余弦值 18 某科技公司组织技术人员进行新项目研发 技术人员将独立地进行项目中不同类型的实 验 A B C 若 A B C实验成功的概率分别为 1 对 A B C实验各进行
6、一次 求至少有一次实验成功的概率 2 该项目要求实验A B各做两次 实验C做 3 次 如果 A实验两次都成功则进行实验B 并获奖励10000 元 两次 B实验都成功则进行实验C并获奖励 30000 元 3 次 C实验只要有 两次成功 则项目研发成功并获奖励60000 元 不重复得奖 且每次实验相互独立 用X 表示技术人员所获奖励的数值 写出X的分布列及数学期望 19 单调递增数列 an 的前 n 项和为 Sn 且满足 4Sn an 2 4n 1 求数列 an 的通项公式 2 数列 bn 满足 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 4 20 已知函数f x x alnx a R 1 求 f x 的
7、单调区间 2 若在 1 e e 2 71828 上任取一点x0 使得 f x0 0 成立 求 a 的取值范围 21 已知椭圆C的中心在原点 焦点在x 轴上 离心率等于 它的一个顶点恰好在抛物 线 x 2 8y 的准线上 1 求椭圆C的标准方程 2 点 P 2 Q 2 在椭圆上 A B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点 i 若直线AB的斜率为 求四边形APBQ 面积的最大值 ii 当 A B运动时 满足 APQ BPQ 试问直线AB的斜率是否为定值 请说明理由 5 2015 年山东省德州市高考数学一模试卷 理科 参考答案与试题解析 一 选择题 50 分 1 设复数z 的共轭复数为 若 2 i z 3
8、 i 则的值为 A 1 B 2 C D 4 考点 复数代数形式的乘除运算 专题 数系的扩充和复数 分析 把已知的等式变形 然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z 再由 得答案 解答 解 由 2 i z 3 i 得 故选 B 点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算 考查了复数的基本概念 是基础题 2 设全集U x N x 6 集合 A l 3 B 3 5 则 UA UB A 2 4 B 2 4 6 C 0 2 4 D 0 2 4 6 考点 交 并 补集的混合运算 专题 计算题 分析 列举出全集U中的元素 求出A与 B的补集 找出两补集的交集即可 解答 解 全集U x N x 6 0 1 2 3
9、 4 5 集合 A l 3 B 3 5 UA 0 2 4 5 UB 0 1 2 4 则 UA UB 0 2 4 故选 C 点评 此题考查了交 并 补集的混合运算 熟练掌握各自的定义是解本题的关键 3 p 为假命题 是 p q 为真命题 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 专题 简易逻辑 分析 根据复合命题之间的关系进行判断 解答 解 若 p 为假命题 则p 为真命题 若 p q 为真命题 则p q 都为真命题 故 p 为假命题 是 p q 为真命题 的必要不充分条件 故选 B 点评 本题主要考查充分条件和必
10、要条件的判断 根据复合命题之间的关系是解决本题的 关键 6 4 执行如图所示的程序框图 若输入数据n 5 a1 1 a2 2 a3 3 a4 4 a5 5 则输出的 结果为 A 1 B 2 C 3 D 4 考点 程序框图 专题 图表型 算法和程序框图 分析 模拟执行程序 依次写出每次循环得到的S k 的值 当k 6 时 满足条件k 5 退出循环 输出S的值为 3 从而得解 解答 解 模拟执行程序 可得 输入数据n 5 a1 1 a2 2 a3 3 a4 4 a5 5 S 0 k 1 S 1 k 2 不满足条件k 5 S k 3 不满足条件k 5 S 2 k 4 不满足条件k 5 S k 5 不
11、满足条件k 5 S 3 k 6 满足条件k 5 退出循环 输出S的值为 3 故选 C 点评 本题考查了程序框图的应用问题 解题时应模拟程序框图的运行过程 以便得出正 确的结果 属于基础题 5 若函数f x a 2x 4 g x log a x a 0 且 a 1 且 f 2 g 2 0 则函数 f x g x 在同一坐标系中的大致图象是 A B C D 考点 函数的图象 7 专题 函数的性质及应用 分析 先由条件f 2 g 2 0 确定 a 的取值范围 然后利用指数函数和对数函数的性 质去判断f x g x 的图象 解答 解 由题意f x a 2x 4 是指数型的 g x loga x 是对数
12、型的且是一个偶函数 由 f 2 g 2 0 可得出g 2 0 故 loga2 0 故 0 a 1 由此特征可以确定C D两选项不正确 且 f x a 2x 4 是一个减函数 由此知A不对 B选项是正确答案 故选 B 点评 本题主要考查了函数图象的识别和应用 判断函数图象要充分利用函数本身的性质 由 f 2 g 2 0 确定 a 的取值范围 是解决本题的关键 6 已知抛物线y 2 8x 与双曲线 y 2 1的一个交点为 M F 为抛物线的焦点 若 MF 5 则该双曲线的渐近线方程为 A 5x 3y 0 B 3x 5y 0 C 4x 5y 0 D 5x 4y 0 考点 双曲线的简单性质 专题 圆锥
13、曲线的定义 性质与方程 分析 求得抛物线的焦点和准线方程 设M m n 则由抛物线的定义可得m 3 进而得 到 M的坐标 代入双曲线的方程 可得a 再由渐近线方程即可得到所求 解答 解 抛物线y 2 8x 的焦点 F 2 0 准线方程为 x 2 设 M m n 则由抛物线的定义可得 MF m 2 5 解得 m 3 由 n 2 24 可得 n 2 将 M 3 代入双曲线 y 2 1 可得 24 1 解得 a 即有双曲线的渐近线方程为y x 即为 5x 3y 0 故选 A 点评 本题考查抛物线和双曲线的定义 方程和性质 主要考查抛物线的定义和双曲线的 渐近线方程 考查运算能力 属于基础题 7 棱长
14、为2 的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示 那么被截去的几何体的体 积是 8 A B C 4 D 3 考点 由三视图求面积 体积 专题 计算题 空间位置关系与距离 分析 三视图中长对正 高对齐 宽相等 由三视图想象出直观图 一般需从俯视图构建 直观图 该几何体为正方体沿体对角线截成 解答 解 该几何体为正方体沿体对角线截成 其分成两部分的几何体的体积相等 而正方体的体积V 2 3 8 故被截去的几何体的体积是 4 故选 C 点评 三视图中长对正 高对齐 宽相等 由三视图想象出直观图 一般需从俯视图构建 直观图 本题考查了学生的空间想象力 识图能力及计算能力 8 已知 D是不等式组所确定
15、的平面区域 则圆x 2 y2 4 与 D围成的区域面积为 A B C D 考点 两直线的夹角与到角问题 二元一次不等式 组 与平面区域 专题 直线与圆 分析 作出不等式组对应的平面区域 根据区域的图形进行求面积即可 解答 解 作出不等式组对应的平面区域 则公共区域如图 则直线 x 2y 0 的斜率 k 直线 x 3y 0 的斜率 k 则两直线的夹角 满足tan 1 则 则阴影部分对应的面积之和S 故选 A 9 点评 本题主要考查二元一次不等式组的应用以及圆的扇形面积的求解 根据直线所成的 角求出两条直线的夹角是解决本题的关键 9 设 m n 是正整数 多项式 1 2x m 1 5x n 中含
16、x 一次项的系数为 16 则含 x 2 项的系数是 A 13 B 6 C 79 D 37 考点 二项式系数的性质 专题 二项式定理 分析 由含 x 一次项的系数为 16 利用二项展开式的通项公式求得2m 5n 16 再根据 m n 为正整数 可得m 3 n 2 从而求得含x 2 项的系数 解答 解 由于多项式 1 2x m 1 5x n 中含 x 一次项的系数为 2 5 16 可得 2m 5n 16 再根据 m n 为正整数 可得m 3 n 2 故含 x 2 项的系数是 2 2 5 2 37 故选 D 点评 本题主要考查二项式定理的应用 二项展开式的通项公式 二项式系数的性质 属 于基础题 10 已知函数f x 是定义在R上的奇函数 其导函数为f x 当 x 0 时 2f x xf x 0 恒成立 则f 1 2014 2015在大小关系为 A 2015 2014 f 1 B 2015 f 1 2014 C f 1 2015 2014 D f 1 2014 2015 考点 利用导数研究函数的单调性 函数奇偶性的性质 导数的运算 专题 函数的性质及应用 导数的概念及应用 分析 首先利用换元
