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1、函数的单调性与最值建议用时：45分钟一、选择题1下列函数中，在区间(0，)内单调递减的是()AyxByx2xCyln xxDyexxA对于A，y1在(0，)内是减函数，y2x在(0，)内是增函数，则yx在(0，)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，)上均不单调；选项D中，yex1，而当x(0，)时，y0，所以函数yexx在(0，)上是增函数2函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是()A(，2)B(，1)C(1，)D(4，)D由x22x80，得x4或x2.因此，函数f(x)ln(x22x8)的定义域是(，2)(4，)，注意到函数yx22x8在(4，)上单调递增，由复合函数的单调性知，f
2、(x)ln(x22x8)的单调递增区间是(4，)3若函数f(x)x2a|x|2，xR在区间3，)和2，1上均为增函数，则实数a的取值范围是()A.B6，4C3，2D4，3B由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，)上的单调性即可由题意知函数f(x)在3，)上为增函数，在1,2上为减函数，故2,3，即a6，44已知函数f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. B.C. D.D因为函数f(x)是定义在区间0，)上的增函数，满足f(2x1)f.所以02x1，解得x.5已知函数f(x)x22axa在区间(，1)上有最小值
3、，则函数g(x)在区间(1，)上一定()A有最小值B有最大值C是减函数D是增函数D由题意知a1，若a0，则g(x)x2a在(1，)上单调递增；若0a1，g(x)x2a在(，)上单调递增，则g(x)在(1，)上单调递增综上可得，g(x)x2a在区间(1，)上是增函数故选D.二、填空题6函数f(x)的值域为_，因为所以2x4，所以函数f(x)的定义域为2,4又y1，y2在区间2,4上均为减函数，所以f(x)在2,4上为减函数， 所以f(4)f(x)f(2)，即f(x).7若f(x)是定义在R上的减函数，则a的取值范围是_由题意知，解得所以a.8已知函数f(x)ln xx，若f(a2a)f(a3)，
4、则正实数a的取值范围是_(3，)因为f(x)ln xx在(0，)上是增函数，所以解得3a1或a3.又a0，所以a3.三、解答题9已知f(x)(xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)上单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)上单调递减，求实数a的取值范围解(1)证明：设x1x22，则f(x1)f(x2).因为(x12)(x22)0，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)上单调递增(2)设1x1x2，则f(x1)f(x2).因为a0，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1.综上所述，实数a的取值范
5、围是(0,110已知函数f(x)x2a|x2|4.(1)当a2时，求f(x)在0,3上的最大值和最小值；(2)若f(x)在区间1，)上单调递增，求实数a的取值范围解(1)当a2时，f(x)x22|x2|4当x0,2时，1f(x)0，当x2,3时，0f(x)7，所以f(x)在0,3上的最大值为7，最小值为1.(2)因为f(x)又f(x)在区间1，)上单调递增，所以当x2时，f(x)单调递增，则2，即a4.当1x2时，f(x)单调递增，则1.即a2，且42a2a442a2a4恒成立，故实数a的取值范围为4，21函数f(x)满足f(x2)3f(x)，且xR，若当x0,2时，f(x)x22x2，则当x
6、4，2时，f(x)的最小值为()A. B.CDA因为f(x2)3f(x)，所以f(x)f(x2)f(x4)因为当x0,2时，f(x)x22x2，所以当x4，2，即x40,2时，f(x)f(x4)(x3)2，故当x3时，f(x)取得最小值，故选A.2定义在R上的函数f(x)的图像关于直线x2对称且f(x)在(，2)上是增函数，则()Af(1)f(3)Bf(0)f(3)Cf(1)f(3)Df(0)f(3)Af(x)的图像关于直线x2对称且f(x)在(，2)上是增函数，f(x)在(2，)上是减函数，又f(1)f(5)，且f(3)f(5)，f(3)f(1)，选A.3定义新运算：当ab时，aba；当ab
7、时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1B1C6D12C由题意知当2x1时，f(x)x2，当1x2时，f(x)x32，又f(x)x2，f(x)x32在相应的定义域内都为增函数，且f(1)1，f(2)6，f(x)的最大值为6.4设函数f(x)ax2bx1(a，bR)，F(x)(1)若f(1)0，且对任意实数x均有f(x)0成立，求F(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，当x2,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求实数k的取值范围解(1)f(1)0，ba1.由f(x)0恒成立，知a0且方程ax2bx10中的b24a(a1)24a(a1)20，a1，即b2.
8、从而f(x)x22x1.F(x)(2)由(1)可知f(x)x22x1，g(x)f(x)kxx2(2k)x1，由g(x)在2,2上是单调函数，知2或2，得k2或k6.即实数k的取值范围为(，26，)1若f(x)x24mx与g(x)在区间2,4上都是减函数，则m的取值范围是()A(，0)(0,1B(1,0)(0,1C(0，)D(0,1D函数f(x)x24mx的图像开口向下，且以直线x2m为对称轴，若在区间2,4上是减函数，则2m2，解得m1；g(x)的图像由y的图像向左平移一个单位长度得到，若在区间2,4上是减函数，则2m0，解得m0.综上可得，m的取值范围是(0,12已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)证明：任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，当x1时，f(x)0，f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)f(x)在(0，)上是单调递减函数，f(x)在2,9上的最小值为f(9)由ff(x1)f(x2)，得ff(9)f(3)，而f(3)1，f(9)2.f(x)在2,9上的最小值为2.
