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1、射影几何入门(一)1-1对应 1 1. 1-1对应的定义 12. 1-1对应的意义和性质 23. 1-1对应在数学中的应用 44. 无穷集之间的1-1对应 45. 部分和整体的1-1对应, 无穷集的定义 96. 无穷远点. 点列和线束 107. 轴束. 基本形 118. 三种基本形的六种透视对应 129. 射影关系 1410. 1到无穷或无穷到1的对应 1611. 平面点的无穷阶数 1712. 一阶与二阶无穷集 1713. 通过空间一点的所有直线 1714. 通过空间一点的所有平面 1815. 平面上所有的直线 1816. 平面系和点系 1917. 空间中的所有平面 1918. 空间中的所有点
2、 2019. 空间系 2020. 空间中的所有直线 2021. 点与数之间的对应 2022. 无穷远元素 22（二）1-1对应 基本形之间的关系 25 23. 七种基本形 2524. 射影性 2525. Desargues 定理 2626. 关于二个完全四边形的基本定理 2727. 定理的重要性 2828. 定理的重述 2829. 四调和点概念 2930. 调和共轭的对称性 3031. 概念的重要性 3032. 四调和点的投影不变性 3133. 四调和线 3134. 四调和平面. 3135. 结果的概要性总结 3236. 可射影性的定义 3337. 调和共轭点相互之间的对应 3338. 调和共
3、轭的元素的隔离 3439. 无穷远点的调和共轭 3440. 射影定理和度量定理, 线性作图法 3541. 平行线与中点 3642. 将线段分成相等的n个部分 3743. 数值上的关系 3744. 与四调和点关联的代数公式 3745. 进一步的公式 3846. 非调和比（交比） 39(三)射影相关 基本形的结合 4147. 叠加的基本形, 自对应元素 4148. 无自对应点的情况 4249. 射影对应的基本定理, 连续性假设 4350. 定理应用于线束和平面束 4451. 具有一公共自对应点的射影点列 4452. 无公共自对应点的射影相关点列 4553. 透视对应的两个射线束 4754. 透视对
4、应的面束（轴束） 4755. 二阶点列 4756. 轨迹的退化 4857. 两阶线束 4858. 退化情况 4859. 二阶圆锥面 49(四) 二阶点列 49 60. 二阶点列与二阶线束 4962. 切线 5063. 轨迹生成问题的陈述 5064. 基本问题的解决 5165. 图形的不同构作法 5266. 将轨迹上四点连到第五点的直线 5267. 定理的另一种陈述形式 5368. 更为重要的定理 5469. Pascal定理 5470. Pascal定理中点的名称的替换 5471. 在一个二阶点列上的调和点 5672. 轨迹的确定 5673. 作为二阶点列的圆和圆锥线 5674. 通过五点的圆
5、锥曲线 5775. 圆锥线的切线 5876. 内接四边形 5977. 内接的三角形 6078. 退化圆锥线 61(五)二阶线束 63 79. 已定义的二阶射线束 6380. 圆的切线 6381. 圆锥曲线的切线 6582. 系统的生成点列线 6583. 线束的确定 6584. Brianchon定理 6785. Brianchon定理中线的替换 6886. 用Brianchon定理构造线束 6887. 与一圆锥曲线相切的点 6888. 外切四边形 6989. 外切三边形 7090. Brianchon定理的应用 7091. 调和切线 7192. 可射影性和可透视性 7193. 退化情况 729
6、4. 对偶律 72(六) 极点和极线 75 95. 关于圆的极点和极线 7596. 圆锥曲线的内点的共轭点的轨迹 7797. 更多的性质 7898. 极点极线的定义 7899. 极点与极线的基本定理 78100. 共轭点与共轭直线 79102. 自配极三角形 79103. 射影相关的极点与极线 80104. 对偶性 81105. 自对偶定理 81106. 其他对应关系 82(七) 圆锥曲线的 度量性质 83107. 直径与中心 83108. 相关的几个定理 83109. 共轭直径 84110. 圆锥曲线的分类 84111. 渐近线 84112. 有关的几个定理 85113. 关于渐近线的定理
7、85115. 由双曲线及其渐近线切割的弦 86116. 定理的应用 86117. 由二条渐近线和一条切线形成的三角形 87118. 用渐近线来表示一个双曲线的方程 88119. 抛物线方程 88120. 参引共轭直径的有心圆锥线的方程 91(八) 对合(Involution) 9512 1. 基本定理 95122. 线性作图法 96123. 直线上点的对合的定义 97124. 对合中的二重点 97125. 有关通过四点的圆锥曲线的Desargues定理 99126. 退化圆锥线 100127. 通过四点并与一已知直线相切的圆锥线 100128. 二重对应 100129. Steiner的作图方
8、法 101130. Steiner作图法在重对应中的应用 102131. 二阶点列中点的对合 103132. 射线的对合 104133. 二重射线 105134. 通过一固定点与四线相切的圆锥线 105135. 双重对应 105136. 处于对合下的二阶射线束 106137. 有关对合二阶射线束的定理 106138. 由一圆锥曲线确定的射线的对合 106139. 定理的陈述 106140. 定理的对偶 107(九) 对合的度量性质 109141. 无穷远点的引入; 对合的中心 109142. 基本度量定理 109143. 二重点的存在 110144. 二重射线的存在 112145. 通过圆来构
9、筑对合 112146. 圆点 113147. 对合中的正交射线对, 圆对合 114148. 圆锥线的轴 114149. 由一圆锥线确定的对合的点是圆点 115150. 圆点的性质 115151. 圆点的位置 116152. 寻找圆锥曲线的焦点 117153. 圆和抛物线 117154. 圆锥线焦点性质 118155. 抛物线的情况 119156. 抛物面反射镜 119157. 准线主轴顶点 119158. 圆锥线的另一种定义 120159. 离心率 120160. 焦距之和与差 121(十) 综合射影几何的历史 123161. 早期成果 123162. 统一性原理 124163. Desarg
10、ues 124164. 极点与极线 125165. 通过4点的二阶曲线的Desargues 定理 125166. 推广到空间的极点与极线理论 126167. 描述圆锥曲线的Desargues方法 126168. Desargues 工作的被接纳 127169. Desargues时代的保守性 127170. Desargues的写作风格 128171. Desargues工作缺乏欣赏 129172. Pascal与他的定理 129173. Pascal的短评 130174. Pascal的独创性 130175. De La Hire和他的工作 131176. Descartes和他的影响 13
11、2177. Newton和Maclaurin 133178. Maclaurin的证法 133179. 画法几何与综合几何的二次复兴 134180. 对偶性, 同调性, 连续性, 偶然性联系 135181. Poncelet和Cauchy 135182. Poncelet的工作 136183. 解析几何妥欠综合几何的债 137184. Steiner和他的工作 137185. Von Staudt和他的工作 138186. 近期的发展 139附 录 140 参考文献148 索 引 151 99第1章 1-1对应1. 1-1 对应的定义【定义】任意给定两个集合，如果在它们之间能够建立一种对应，使
12、得任意一个集合中的每一个元素，都对应到另一集合中的一个且仅一个元素，那么，这两个集合就称为能够建立1-1对应的集合，简称两个集合为1-1对应（One-to-One Correspondence）。 这里，1-1对应是定义两个集合之间的一种关系 ，而不是它们元素之间的关系，但要确定两个集合是否有这种关系，需要考察它们的元素之间是否能够建立一个具体的1-1对应。 【例】试问由三个数字组成的集合1,2,3,和由三个字母组成的集合A,B,C之间是否1-1对应？ 【答】我们在这两个集合的元素之间建立下面这样的对应： 1 A ， 2 B ， 3 C 这里符号表示其左右两边元素为对应。这样，两个集合中的每一
13、个元素，都对应到了另一集合中的一个且仅一个元素。所以集合1,2,3与集合A,B,C为 1-1 对应。 显然，包含两个数字的集合1,2或包含四个数字的集合1,2,3,4就不能与包含三个字母的集合A,B,C建立 1-1 对应。 集合1-1对应的概念非常简单，但也非常重要，它在科研、生产或在日常生活中都频繁使用。例如，我们通常进行的计数过程就是将被计数对象与数字1、2、3 之间在心中建立1-1对应；在人类尚未进入文明时代、尚未发明数字之前，也已利用他们的手指与被计数对象（如每天的掠物）建立1-1对应。科学家们的神圣工作是对自然界各种事物进行命名与分类，本质上就是将这些事物及其属性与适当的word（单字）建立1-1对应。这种过程虽然不像计数那样简单，需要反复，需要修正和深化，不可能一次完成，但在本质上，每一步无非就是
