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1、 文科数学试题第1页 共13页 2019 年深圳市高三第二次调研考试 文科数学试题答案及评分参考 第 卷 一 选择题 1 C 2 A 3 D 4 C 5 B 6 C 7 A 8 B 9 C 10 B 11 C 12 D 12 解法 1 122 1 22 axxa fx xxx 注意到函数2yxx 在 1 上单调递增 且2 1xx 若 1 2 a 则1 20a 则 0fx 函数 f x在 1 上单调递增 故 1 0f xf 不合题意 应舍去 当 1 2 a 时 此时存在 0 1x 使得当 0 1xx 时 f x单调递减 当 0 xx 时 f x单调递增 因为 1 0f 所以 0 0f x 又因为
2、 2 1 0fa 故此时 f x在 1 上必定存在零点 综上所述 答案为 D 解法 2 函数 f x在 1 上存在零点 即方程ln0 xxax 在 1 上有解 设 1 tx t 则方程可化为 2 2 ln0 1 ttatt 显然当0a 时 方程在 1 上无解 当0a 时 方程可化为 1ln 1 2 t t at 通过研究直线 1 1 2 yt a 与曲线 lnt y t 的位置关 系 易知 1 01 2a 所以 1 2 a 解法 3 此题作为选择题 结合答案是有一些较为灵活的解题方法的 比如可以将问题转化为 直 线 g xx 与 lnh xxax 在 1 上 有 交 点 注 意 到0a 和 函
3、 数 lnh xxax 的凹凸性以及 g xh x均过点 1 1 故可研究 h x 在 1 1处的切线即可 二 填空题 13 4 14 1 15 2 3 16 2 3 16 解法 1 设ABD 的外接圆半径为r 2ADB 其中 0 2 由正弦定理易得 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 文科数学试题第2页 共13页 4sin 2 sin2 r 故 1 cos r 由题意知 2 1 5r 解得 1 cos 2 所以ADB 2 2 3 解法 2 设ABD 的外接圆半径为r 2ADB 其中 0 2 并设AB 中点为 M DMb AMa 则有 222 abrr 由于 22 4ab 由此可得2b
4、r 又因为 2 1 5r 所以 2r 而 11 cos 22 b r 所以ADB 2 2 3 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知数列 n a 满足 1 2a 1 22 n nn aa n N 1 判断数列 2 n n a 是否为等差数列 并说明理由 2 记 n S为数列 n a 的前n项和 求 n S 解析 1 设2 nn n ba 则 1 11 2n nn ba 2 分 则 1 111 2 2 2 nnn nnnnnn bbaaaa 4 分 22 22 nn nn aa n N 5 分 所以 数列 2 n n a 是首项为0 公差2d 的等差
5、数列 6 分 2 由 1 可知20 1 n n na 2 8 分 22 1 n n an 9 分 12 0 1 2 1 2 22 1 22 n n n nn Snn 12 分 命题意图 本题主要考查数列的递推公式 等差数列的证明方法 分组求和法以及等 差 等比数列的前n项和公式等知识 重点考查等价转换思想 体现了数学运算 逻辑推理等 核心素养 18 本小题满分 12 分 某网店经销某商品 为了解该商品的月销量y 单位 千件 与售价x 单位 元 件 之 间的关系 收集了5组数据进行了初步处理 得到如下数表 x 5 6 7 8 9 y 8 6 4 5 3 5 3 1 统计学中用相关系数r来衡量两个
6、变量之间线性相关关系的强弱 若 0 75 1 r 则 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 文科数学试题第3页 共13页 认为相关性很强 若 0 3 0 75 r 则认为相关性一般 若 0 0 25 r 则认为相关性较弱 请计算相关系数r 并说明y与x之间的线性相关关系的强弱 精确到0 01 2 求y关于x的线性回归方程 3 根据 2 中的线性回归方程 应将售价x定为多少 可获取最大的月销售金额 解 1 由表中数据和附注中的参考数据得 7x 5y 1 分 5 2 1 10 i i xx 5 2 1 16 5 i i yy 2 分 5 1 12 5 ii i xxyy 12 5 0 97
7、10 16 5 r 3 分 因为0 97 0 75 1 r 4 分 说明y与x的线性相关关系很强 5 分 2 由 1 可知 1 2 1 12 5 1 25 10 n ii i n i i xxyy b xx 7 分 51 25713 75aybx 8 分 1 2513 75yx 9 分 3 由题意可知 月销售额的预报值 2 1000 125013750zy xxx 元 或者 2 1 2513 75zy xxx 千元 10 分 则当5 5x 时 z 取到最大值 即该店主将售价定为5 5元 件时 可使网店的月销售额最大 12 分 命题意图 本题旨在考查概率统计在实际问题中的应用 以研究相关系数 线
8、性回归 二 次函数等知识为载体 考查了学生的数学运算 数学建模等数学核心素养 19 本小题满分 12 分 在边长为4的正方形ABCD中 点E F分别为边AB AD的中点 以CE和CF为折 痕把 DFC和 BEC折起 使点B D重合于点P位置 连结PA 得到如图所示的四棱锥 PAECF 1 在线段PC上是否存在一点G 使PA与平面EFG平行 若存在 求 PG GC 的值 若不存在 请说明理由 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 文科数学试题第4页 共13页 2 求点A到平面PEC的距离 解 1 线段PC上的点G满足 1 3 PG GC 时 PA与平面EFG平行 1 分 证明如下 连结EF
9、 EG FG AC 记AC与EF的交点为O 连结OG 在正方形ABCD中 E F分别为边AB AD的中点 1 3 AO OC 2 分 故 1 3 AOPG OCGC 3 分 PA OG 4 分 PAEFG 平面 OGEFG 平面 PAEFG平面 6 分 2 解法一 解法一 在正方形ABCD中 ABBC ADCD 翻折后PCPE PCPF 又PEPFP PC 平面PEF 8 分 记AC与EF的交点为O 连结PO 可知 OPC为直角三角形 2OP 4PC 3 2OC 设P到直线AC的距离为h 4 23 2 h 4 3 h 9 分 PCEF ACEF ACPCC EFPAC 平面 EFAECF 平面
10、 PACAEC 平面平面 PACAEC AC平面平面 OPC斜边OC上的高 h 即为三棱锥 P AEC的高 10 分 111416 2 4 33239 P AECAEC VSh 1 4 2 PCE SPC PE 设点A到平面PCE的距离为 h A B C D E F P O 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 文科数学试题第5页 共13页 14 33 A PCEPCE VShh 416 39 h 解得 4 3 h 12 分 解解法二法二 在正方形ABCD中 ABBC ADCD 翻折后PCPE PCPF 又PEPFP PC 平面PEF 8 分 记AC与EF的交点为O 连结PO 可知 OP
11、C为直角三角形 2OP 4PC 3 2OC 易得P到直线AC的距离为 4 3 9 分 2 3 8 3 4 24 2 1 PAC S PCEF ACEF ACPCC EFPAC 平面 11816 22 3339 P AECE PACPAC VVSOE 又 1 4 2 PCE SPC PE 设点A到平面PCE的距离为h 14 33 A PCEPCE VShh 416 39 h 解得 4 3 h 12 分 解解法三法三 在正方形ABCD中 ABBC ADCD 翻折后PCPE PCPF 又PEPFP PC 平面PEF 8 分 记AC与EF的交点为O 连结PO 可知 OPC为直角三角形 2OP 4PC
12、3 2OC 易得 2224 2 1 POC S 9 分 PCEF ACEF ACPCC EFPAC 平面 3 4 222 3 1 E POC V A B C D E F P O A B C D E F P O 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 文科数学试题第6页 共13页 44 416 33 39 E PACE POC VV 又 1 4 2 PCE SPC PE 设点A到平面PCE的距离为h 14 33 A PCEPCE VShh 416 39 h 解得 4 3 h 12 分 说明 本题以翻折问题为载体考查空间中点 线 面的位置关系 线面平行的性质定理的 应用 点到平面的距离等知识
13、意在考查考生的空间想象能力 逻辑推理能力以及运算求解能 力 20 本小题满分 12 分 设点P是直线 2y 上一点 过点P分别作抛物线 2 4C xy 的两条切线PA PB 其中A B为切点 1 若点A的坐标为 1 1 4 求点P的横坐标 2 当 ABP的面积为 27 2 时 求AB 解析 1 由 2 1 4 yx 所以 1 2 yx 1 分 因为 1 1 4 A 由导数的几何意义知 切线PA的斜率 11 1 22 PA k 2 分 所以切线PA的方程为 11 1 42 PA lyx 即 11 24 yx 3 分 又因为点P为直线 2y 与直线 11 24 yx的公共点 联立 2y 与 11
14、24 yx 可得P点横坐标为 7 2 4 分 2 法一 法一 不妨设 1122 A x yB x y 0 2 P x 由 1 可知 1 1 2 PA kx 即直线PA的方程为 111 1 2 yyx xx 即 11 1 2 PA lyx xy 同理可得 22 1 2 PB lyx xy 5 分 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 文科数学试题第7页 共13页 因为切线PA PB均过点 0 2 P x 所以 0 11 0 22 2 2 2 2 x xy x xy 6 分 所以 1122 x yx y为方程 0 2 2 x xy 的两组解 所以直线AB的方程为 0 2 2 x xy 即 0
15、 2 2 AB x lyx 7 分 联立 0 2 2 2 4 x yx xy 可得 2 0 280 xx x 显然0 由韦达定理得 1201 2 2 8xxx x x 8 分 所以 2 222 00 00 1 2 4 8 1432 24 xx ABxx 9 分 又因为点P到直线AB的距离 2 0 2 0 4 2 1 2 x d x 10 分 所以 32 22 0 2 00 11127 4432 8 22222 ABP x SAB dxx 11 分 解得 2 0 1x 所以 2 2 0 0 1432 3 5 4 x ABx 12 分 法二 法二 不妨设 1122 A x yB x y 由 1 可
16、知直线PA的方程为 2 11 24 xx yx 同理 直线PB的方程为 2 22 24 xx yx 5 分 联立解得 1212 24 xxx x P 6 分 又点P在直线2y 所以 1 2 2 4 x x 12 8x x 7 分 设直线AB的方程为ykxm 联立 2 4xy ykxm 可得 2 440 xkxm 由韦达定理得 12 4xxk 12 48x xm 可得2m 2 2 Pk 8 分 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 文科数学试题第8页 共13页 所以 2222 1 4 4 8 4 12ABkkkk 9 分 又因为点P到直线AB的距离为 2 2 24 1 k d k 10 分 所以 32 222 2 2 1 24 27 2 124 2 22 1 ABP k SAB dkkk k 11 分 解得 2 1 4 k 所以 11 4 12 3 5 44 AB 12 分 命题意图 本题以直线与抛物线为载体 及其几何关系为背景 利用方程思想解决几何问 题 主要考查抛物线的切点弦 直线与抛物线的位置关系等知识 考查学生的逻辑推理 数学运 算等数学核心素养及思辨能力 21 本小题满分
