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1、高二月考 四 理科数学试题第 1页共 4 页 南宁三中 2019 2020 学年度上学期高二月考 四 理科数学试题 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给的四个选项中 只有一项符合 1 已知集合 25 3 0 1 2 3 4 5 AxxxB 则 RA B A 1 2 3B 2 3C 1 2D 1 2 若双曲线 22 22 10 3 xy a a 的离心率为 2 则a等于 A 2B 3 C 3 2 D 1 3 若实数x y满足 22 1 1 yx yx yx 则3zxy 的最大值是 A 2 B 1 C 5D 3 4 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为
2、 A 1B 1 3 C 1 2 D 3 2 5 xa 是 xa 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 6 已知 2 2 log 3 a 4 logb 3 0 6c 则 a b c 的大小关系为 A bca B cba C bac D cab 7 某校高一年级从 815 名学生中选取 30 名学生参加庆祝建党 98 周年的大合唱节目 若采用下 面的方法选取 先用简单随机抽样从 815 人中剔除 5 人 剩下的 810 人再按系统抽样的方法 抽取 则每人入选的概率 A 不全相等B 均不相等C 都相等 且为 6 163 D 都相等 且为 1 27 高二月考
3、四 理科数学试题第 2页 共 4页 8 设 f x与 g x是定义在同一区间 ab 上的两个函数 若函数 yf xg x 在 xab 上有两个不同的零点 则称 f x和 g x在 ab 上是关联函数 ab 称为关联区间 若 2 34f xxx 与 2g xxm 在 0 3 上是关联函数 则m的取值范围是 A 9 4 B 9 2 4 C 2 D 10 9 已知数列 n a满足 1 1a 1 2 n nn aanN n S是数列 n a的前n项和 则 A 2018 2018 2a B 1009 2018 3 23S C 数列 21 n a 是等差数列D 数列 n a是等比数列 10 已知 12 F
4、 F是椭圆与双曲线的公共焦点 P是它们的一个公共点 且 21 PFPF 椭圆的 离心率为 1 e 双曲线的离心率为 2 e 若 112 PFFF 则 2 1 3 3 e e 的最小值为 A 6 2 3 B 6 2 2 C 8D 6 11 设棱锥MABCD 的底面是正方形 且 MAMD MAAB AMD 的面积为1 则能够 放入这个棱锥的最大球的半径为 A 2 3 B 21 C 2 1 2 D 3 1 3 12 定义在 上的函数 f x对任意 1212 x x xx 都有 12 12 0 f xf x xx 且函数 1 yf x 的图象关于 1 0 成中心对称 若 s t满足不等式 22 2 2
5、 f ssftt 则当14s 时 2ts st 的取值范围是 A 1 3 2 B 1 3 2 C 1 5 2 D 1 5 2 二 填空题二 填空题 13 已知 x y 满足方程 22 2 1xy 则 y x 的最大值为 14 若方程 22 1 94 xy kk 表示焦点在 轴上的椭圆 则实数 的取值范围为 15 如图 在边长为 2 正方体 1111 ABCDABC D 中 E为BC的中点 点P在正方体表面上移动 且满足 11 B PD E 则点 1 B和满足条件 的所有点P构成的图形的面积是 16 某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状 最大拱高h为 6 米 如图所示 路面设计是双向车 道 车道总宽
6、为8 7米 如果限制通行车辆的高度不超过 4 5 米 那么隧道设计的拱宽d至 少应是 米 高二月考 四 理科数学试题第 3页共 4 页 三 解答题三 解答题 17 10 分 在ABC 中 角A B C的对边分别为a b c 且满足 3 cossin 3 abCcB 求角B 若ABC 的面积为 5 3 4 3 3ac 求边b 18 12 分 已知数列 n a为等差数列 n S为 n a的前 n 项和 2585 2 25 aaa S 1 求数列 n a的通项公式 2 记 1 4 n nn c aa 其前n项和为 n T 求证 4 3 n T 19 某中学为了组建一支业余足球队 在高一年级随机选取
7、50 名男生测量身高 发现被测男生 的身高全部在160cm到184cm之间 将测量结果按如下方式分成六组 第 1 组 160 164 第 2 组 164 168 第 6 组 180 184 如图是按上述分组得到的频率分布直方图 以 频率近似概率 1 若学校要从中选 1 名男生担任足球队长 求被选取的男生恰好在第 5 组或第 6 组的概率 2 现在从第 5 与第 6 组男生中选取两名同学担任守门员 求选取的两人中最多有 1 名男生来 自第 5 组的概率 高二月考 四 理科数学试题第 4页 共 4页 20 在在四棱锥PABCD 中 2 3BCBDDC 2ADABPDPB M为的中点 CD 1 若点
8、E为PC的中点 求证 BE平面PAD 2 当平面PBD 平面ABCD时 线段 PC 上是否存在一点 E 使得平面 EMB 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小为 6 若存在 求出点 E 的位置 若不 存在 请说明理由 21 12 分 1 已知M为圆O 22 1xy 上的动点 过点M作x轴 y轴的垂线 垂足分 别为A B 连接BA延长至点P 使得 2APBA 记点P的轨迹为曲线C 1 1 求曲线C的方程 2 直线 1 l ykxm 与圆O相切 直线 2 l ykxn 与曲线C相切 求 2 2 m n 的取值范围 22 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的左 右焦点为 12 F F
9、 离心率为 3 3 点P在椭圆C 上 且 12 PFF 的面积的最大值为 2 1 求椭圆C的方程 2 已知直线 10l ykxk 与椭圆C交于不同的两点 M N 若在x轴上存在点 0G m 得GMGN 求实数m的取值范围 高二月考 四 理科数学答案第 1页 共 8页 高二月考 四 理科数学试题参考答案参考答案 1 C 解析 依题意得 5 25 3 03 2 Axxxx xx 或所以 5 3 2 RA xx 故 1 2 RA B 2 B 解析 由 222 22 9 132 3 xyca be aaa 可知 而离心率 解得 3a 3 C 解析 画出可行域如下图所示 由图可知 目标函 数在点 3 4
10、处取得最大值为5 4 B 解析 由三视图可知 该几何体是四棱锥 底面积 高 四棱锥的体积 故答案为 B 5 B 解析 将两个条件相互推导 根据能否推导的情况选出正确选项 当 x a 时 如 1 1xa xa 故不能推出 xa 当 xa 时 必然有 xa 故 xa 是 x a 的必要不充分条件 6 B 解析 采用 0 1 分段法 找到小于0 在0 1之间和大于1的数 由此判断出三者的大 小关系 因为 0 10 6c 4 01log 4b 0a 所以cba 故选 B 7 C 解析 抽样要保证机会均等 由此得出正确选项 抽样要保证机会均等 故从815名学生 中抽取30名 概率为 306 815163
11、 故选 C 8 B 解析 f x x2 3x 4 与 g x 2x m 在 0 3 上是 关联函数 故函数 y h x f x g x x2 5x 4 m 在 0 3 上有两个不同的零点 故有 0040 9 30202 4 25255 400 422 hm hmm mh 故答案为 9 2 4 高二月考 四 理科数学答案第 2页 共 8页 9 B 解析 由 1 1a 1 2n nn aanN 可知数列 n a隔项成等比 再结合等比的有关 性质即可作出判断 数列 n a满足 1 1a 1 2n nn aanN 当n 2 时 1 1 2n nn aa 两式作商可得 1 1 2 n n a a 数列
12、n a的奇数项 135 aaa 成等比 偶数项 246 aaa 成等比 对于 A 来说 2018 1 10081009 2 20182 22 22aa 错 误 对于 B 来说 2018132017242018 Saaaaaa 10091009 1009 112212 3 23 1212 正确 对于 C 来说 数列 21n a 是等比数列 错误 对于 D 来说 数列 n a不是等比数列 错误 故选 B 10 C 解析 设 12 cc ee aa 2 PFm 则 2 1 3 3 e e 33 322 6 3 33 22 mm cc accc mmcacc cc 3 2 628 3 2 m c c
13、mc c 选 C 11 B 解析 设球O是与平面MAD 平面AC 平面MBC都相切的球 然后找出球心所 在的三角形 设ADEFa 求出内切圆半径然后利用基本不等式即可求出最大值 解 ABAD ABMA AB 平面MAD 由此 面MAD 面ABCD 记E F 分别是AD BC 的中点 从而MEAD ME 平面ABCD MEEF 设球O是与平面MAD 平面ABCD 平面MBC都相切的球 不妨设O 平面MEF 于是O是MEF 的内心 设球O的半径为r 则 2 MEF S r EFEMMF 高二月考 四 理科数学答案第 3页 共 8页 设ADEFa 1 AMD S 所以 2 ME a 2 2 2 MF
14、a a 所以 2 2 22 21 2 22 22 r aa aa 当且仅当 2 a a 即 2a 时 等号成立 当 2ADME 时 满足条件的最大半径为 21 12 D 解析 由已知条件知函数为奇函数且在 上为减函数 由有 所以 若以 为横坐标 为纵坐标 建立平面直 角坐标系 如图所示 阴影部分为不等式表示 的平面区域 即及其内部 令 则 求出 所以 解得 的取值范围是 选 D 13 3 3 解析 求出圆的圆心坐标 圆的半径 利用圆心到直线的 距离等于半径求出 k 的值即可 解 x y 满足方程 x 2 2 y2 1 圆的圆心 2 0 半径为 1 设 y k x 即 kx y 0 要求 x y
15、 满足方程 x 2 2 y2 1 y x 的最大值 就是求圆的圆心到直线的距离等于半径 即 2 2 1 1 k k 解得 k 3 3 所求 y x 的最大值为 3 3 故答案为 3 3 14 解析 根据椭圆的标准方程及焦点在 轴上 可得 k 的不等式组 解不等式组即可得 k 的取值范围 详解 焦点在 轴上 且满足分母大于 0 所以 9 4 90 40 kk k k 解得 k 的范围为 5 4 2 k 即 5 4 2 k 高二月考 四 理科数学答案第 4页 共 8页 15 9 2 解析 点P满足 11 B PD E 且在正方体的表面上 所以点P只能在面ABCD 面 11 BCC B 面 11 C
16、C D D 面 11 ABB A内 详解 取 1 CC CD的中点分别为 N M 连结 11 AM MN B N AB 由于 1 ABMN 所以 1 AB NM四点共面 且四边形 1 AB NM为梯形 因为 11 D EMN D EAM MNAMM 所以 1 D E 面 1 AB NM 因为点P在正方体表面上移动 所以点P的运轨 迹为梯形 1 AB NM 如图所示 因为正方体 1111 ABCDABC D 的边长为 2 所以 11 2 2 2 5NMABAMB N 所以梯形 1 AB NM为等腰梯形 所以 1 1 2 SMNAB 199 22 2 222 h 16 32 解析 设椭圆方程为 22 2 1 36 xy a 当点 4 7 4 5在椭圆上时 2 2 9 16 72 1 36a 解得16 a 车辆高度不超过4 5米 16 232ada 即拱宽至少32 故答案为32 17 3 B 2 3b 解析 由正弦定理 两角和的正弦函数公式 同角三角函数基本关系式化简已知等式可得 tan3B 结合范围 0 B 可得 3 B 由已知利用三角形的面积公式可 得 5ac 进而根据余弦定理可得b的值
