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1、山东省济宁市学而优教育咨询有限公司高中数学必修二学案：1-3-2柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学习要求1掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积；2了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积；3会求简单组合体的体积及表面积学法指导通过对几何体的体积及球的体积和面积公式的推导，提高空间思维能力和空间想象能力，增强探索问题和解决问题的信心.注意：1.空间几何体的表面积、体积是高考的热点，多与三视图相结合命题2.主要考查由三视图还原几何体并求表面积或体积，同时考查空间想象能力及运算能力题型多为选择、填空题.1 柱体、锥体、台体的体积几何体体积柱体V柱体 (S
2、为底面面积，h为高)，V圆柱 (r为底面半径)锥体V锥体 (S为底面面积，h为高)，V圆锥 (r为底面半径)台体V台体 (S，S分别为上、下底面面积，h为高)，V圆台 (r，r分别为上、下底面半径)2.球的体积：球的半径为R，那么它的体积V .3.球的表面积：球的半径为R，那么它的表面积S . 一般地，面积是相对平面图形来说的，对于空间图形需要研究它们的体积，问题1我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式，它们的体积公式如何表示？答V正方体a3，V长方体abc，V圆柱r2h，V圆锥r2h.问题2根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？答如果设S为底面面积，h为
3、高，一般柱体的体积公式为V柱体Sh.问题3等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系如何？等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系如何？答从圆柱和圆锥的体积公式，得等底、等高的圆柱的体积是圆锥的3倍；等底等高的圆锥、棱锥之间的体积相等问题4根据圆锥的体积公式，推测锥体的体积计算公式？答V锥体Sh(S为底面面积，h为高)问题5台体的上底面积S，下底面积S，高h，则台体的体积是怎样的？圆台的体积公式如何用上下底面半径及高表示？答V台(SS)h.V圆台(SS)hh(r2rRR2)(r、R分别为圆台上底、下底半径)一、棱柱、棱锥、棱台的体积几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各
4、数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用1已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是123，对角线的长是2，则这个长方体的体积是()A6 B12 C24 D48解析设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x、2x、3x，又对角线长为2，则 x2(2x)2(3x)2(2)2，解得x2.三条棱长分别为2、4、6. V长方体24648.答案D2.直三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上如图，AP=C1Q，则四棱锥BAPQC的体积为（）AV/2BV/3 CV/4DV/5=3.正三棱锥的底面边长为2，侧
5、面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为_答案解析本题考查几何体体积的求法，易知正三棱锥的侧棱长为，则其体积为()3.(若一个三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且侧棱长分别为a、b、c，则其体积为abc) 4.如图所示，E、F分别是边长为1的正方形ABCD边BC、CD的中点，沿线AF，AE，EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为( )A.B.C. D.答案D 解析设B、D、C重合于G。5.（2012上海文数）已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 96 。解析：考查棱锥体积公式6.(2012新课标)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，S
6、C为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为()A.B.C. D.【解析】SC是球O的直径，CASCBS90.BABCAC1，SC2，ASBS.取AB的中点D，显然ABCD，ABCS.AB平面CDS.在CDS中，CD，DS，SC2，利用余弦定理可得cosCDS.故sinCDS.SCDS，VVBCDSVACDS SCDSBDSCDSAD SCDSBA 1.【答案】A7.（2012江西理数）如图，在三棱锥中，三条棱，两两垂直，且,分别经过三条棱，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，则，的大小关系为 。【答案】 【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特
7、殊化，令边长为1，2，3得。8.已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1ABC的体积为() A. B. C. D.解析VSh3. 答案：D9.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_解析利用三棱锥的体积公式直接求解V D1EDF VFDD1ESD1DEAB111.10. （2011山东文数）如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为.【解析】以为底面，则易知三棱锥的高为1，故. 【答案】11.如图所示的三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且PB1，PA，PC，求其体
8、积(一直线和一平面内两相交直线垂直，则直线与平面垂直) 解由题意知PAPB，PAPC，PBPCP，所以PA垂直平面PBC.所以PA是三棱锥APBC的底面PBC上的高，且SPBCPBPC(因PBPC)，V三棱锥PABCV三棱锥APBCPASPBC，即三棱锥PABC的体积为.12.在棱长为a的正方体ABCD-ABCD中，P、Q是对角线AC上的点，若PQ=，则三棱锥P-BDQ的体积为 （ ）A B C D不确定答案：A 13.四面体的棱长中，有两条为，其余全为1时，它的体积（ ）ABCD以上全不正确答案：A 14.（2008四川文，12）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内
9、角为的菱形，则该棱柱的体积等于( B )（） （） （） （）【解】：如图在三棱柱中，设，由条件有，作于点，则 故选B【点评】：此题重点考察立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考察空间想象能力；【突破】：具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键；15.如图，三棱柱 上一点，求 解法一：设 的距离为 把三棱柱 为相邻侧面的平行六面体，此平行六面体体积为原三棱柱体积的两倍.解法二： 小结：把三棱柱接补成平行六面体是重要的变换方法，平行六面体的每一个面都可以当作柱体的底，有利于体积变换.例 设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体
10、积为()A6 B. C2 D2解析因正六棱锥的高为2，所以VSh62.例 如图所示，已知高为3的棱柱ABCABC的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥BABC的体积为()A.B.C. D.答案D解析棱柱的高为3，B到底面ABC的距离，即棱锥BABC的高为3，体积V123.例 (0910学年枣庄模拟)一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为()A1B.C.D.答案D解析由三视图知，该几何体是三棱锥体积V111.例 一密闭正三棱柱容器内装有液体，该三棱柱容器内底面正三角形边长为2，棱柱的内高为3，将一侧面置于水平桌面上，测得液体高度为，现将容器
11、底面放于水平桌面上，则容器内液面高度为()A. B.C. D3答案C解析由题意可知，侧面置水平桌面上时，容器内的液体是一个四棱柱，高为3，底面是一梯形，梯形的下底是2，高是，可求得上底长为1，故体积V3，设直立正放于桌面上时，液面高度为x，则22x，x.例 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则体积为()A32 B28C24 D20答案B解析上底面积S16226，下底面积S264224，体积V(S1S2)h(624)228.例 已知三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别在侧棱A1A和C1C上，且APC1Q，则四棱锥BAPQC的体积是()A.V B.VC.V D.V答案B解
12、析VBAPQCVBACC1A1VBACC1VC1ABCV.例 (2010天津理，12)一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为_答案解析由三视图知，该几何体由一个高为2，底面边长为2的正四棱锥和一个高为2，底面边长为1的正四棱柱组成，则体积为221112.例 (08江西理)如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P(图2)有下列四个命题：正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是：_(写出所有真命题的代号)答案解析正放时，里边有一个正四棱锥实心装饰块，正放与倒置时，水面都经过正四棱锥顶，容器内水的体积一定，错，对侧面水平放置时，正四棱锥的体积，在水面上、下各一半，容器的容积上、下各一半，水面恰好过点P，但任意摆放时，水面上、下部分正四棱锥体积不等，故水面不过P点，对，错例 (09天津文)如图是一个几何体的三视图若它的体积是3，求a的值解析由三视图知，几何体为底面边长为2，高为3的正三棱柱V2a33，
