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1、五校联考 理科数学 第 1 页 共 5 页 安徽省安徽省怀远怀远第一中学等第一中学等 20202020 届高三上学期届高三上学期 五校五校 联考联考 数学试题 理科 数学试题 理科 一 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B A A D C C A D C D 二 填空题 13 90 14 3 2 15 0或1 16 33 三 解答题 17 解析 1 要证原不等式 即证 22 1abab 只需证 22 1 10ab 22 1ab 22 1 1ab 22 1 10ab 故原不等式成立 5 分 2 334334 ababaaba bb 4334 2aa
2、ba bb 2 22 1ab 10 分 18 解析 1 由题意可得 1 sin0 62 f xx TPQQR 2 T 且0 2 1 sin 2 62 f xx 6 分 2 设 0 P x m 0 3 Q xm 则 00 11 sin 2sin 2 62362 xx 五校联考 理科数学 第 2 页 共 5 页 即 00 5 sin 2sin 2 66 xx 解得 0 2 k x kZ 则 1 sin 62 mk 0m 1m 12 分 19 解析 1 由题意可知 1 31 1 44 nnn aab 1 1 1 44 3 nnn bba 11 1ab 11 3ab 11 31311 11 44442
3、 nnnnnnnn ababbaab 即 11 1 2 nnnn abab 数列 nn ab 是首项为1 公比为 1 2 的等比数列 故 1 1 2 nn n ab 3 分 11 3131 112 4444 nnnnnnnn ababbaab 数列 nn ab 是首项3 公差为2的等差数列 故21 nn abn 6 分 2 由 1 可知 1 1 2 nn n ab 21 nn abn 22 1 21 2 nnnnnnn n n cababab 8 分 011 111 3521 222 n n Sn 式两边同乘 1 2 得 121 11111 352121 22222 n nn Snn 得 01
4、1 11111 321 22222 n nn Sn 1 25 10 2 n n n S 12 分 20 解析 1 取 BD BE的中点分别为 O M 五校联考 理科数学 第 3 页 共 5 页 连结 GO OM MF OMED 且 1 2 OMDE 又 GFED 且 1 2 GFED GFOM 且GFOM 四边形OMFG是平行四边形 故GOFM M是EB的中点 三角形BEF为等边三角形 故FMEB 平面EFM 平面BCDE FM 平面BCDE 因此GO 平面BCDE 故平面GBD 平面BCE 6 分 2 建立如图所示的空间直角坐标系 则 0 1 0B 0 1 2C 0 0 2D 3 1 1 2
5、2 G 故 0 0 2BC 31 1 22 BG 0 1 2BD 设平面CBG的法向量为m x y z 则 0 0 m BC m BG 即 20 320 z xyz 令1x 得m 1 3 0 设平面DBG的法向量为n x y z 则 0 0 n BD n BG 即 20 320 yz xyz 令1z 得n 0 2 1 cos m n m n mn 2 315 525 二面角CGBD 的平面角是锐角 设为 cos 15 5 12 分 五校联考 理科数学 第 4 页 共 5 页 21 解析 1 由 sinsinsin sinsinsin ABCABC 2sinsinAB 得 2 2 2abcab
6、即 222 abc 90C 4 分 2 令CABMBDDMB 则 在AMB 中 902 180MBABMA 由正弦定理得 sin 902sin 180 AMAB 即 cos2 sin AB AM 8 分 在ACD 中 90 2ACDCDA 由正切定义 tan2AC 在ACB 中 90 ACBBAC 由正切定义 tan2 coscos AC AB 10 分 tan2 cos2 cos 2 sin AM 12 分 22 解析 1 1 sin1 x fxexa 由 f x 在 1 上单调递增 故当1x 时 1 sin10 x exa 恒成立 即 1 sin1 x aex 设 1 sin11 x g
7、xexx 1 cos1 x gxex 1x 1 1 cos11 x ex 0gx 即 g x在 1 上单调递增 故 11g xg 1a 5 分 2 当1a 时 1 cos1 x f xexx 1 sin110 x fxex f x在R上单调递增 五校联考 理科数学 第 5 页 共 5 页 又 11f 且 12 2f xf x 故 12 1xx 要证 12 0 xx 只需证 21 xx 即证 21 f xfx 只需证 11 2f xfx 即证 11 20f xfx 令 2h xf xfx h x 11 sin11sin 11 xx exex 11 2cos1 sin xx eex 令 11 2cos1 sin xx xeex 11 2cos1 cos22cos1 cos0 xx xeexex x 在 1 上单调递增 2 11sin20 xe 故 h x在 1 上单调递减 12120h xhf 故原不等式成立 12 分
