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1、第 1页 共 16页 2019 2020 年高一下数学入学考试答案 年高一下数学入学考试答案 试卷 试卷 一 选择题 共一 选择题 共 12 小题 小题 1 已知集合 A x 0 log4x 1 B x ex 2 1 则 A B A 4 B 1 4 C 1 2 D 1 2 解答 解 A x 1 x 4 B x x 2 A B 4 故选 A 2 已知向量 0 1 则向量 与 的 夹角为 A B C D 解答 解 向量 0 1 设向量 与 的夹角为 0 cos sin cos 故 故选 C 3 已知 则 A b c aB c b aC c a bD b a c 解答 解 3 9 16 在 0 上单
2、调递增 b c a 故选 A 4 若函数 f x tanx 的定义域为 1 1 且 f 0 0 则满足 f 2x 1 f x m 1 的实数 x 的取值范围是 A 0 1 B 1 0 C 1 2 D 0 1 第 2页 共 16页 解答 解 f x tanx 由 f 0 0 可得 m 1 故 f x tanx f x f x 即函数 f x 为奇函数 f x tanx 1 tanx 在 1 1 上单调递增 则由 f 2x 1 f x 可得 1 2x 1 x 1 解可得 0 x 1 故选 D 5 已知函数 f x sin 2x 0 将函数 f x 的图象向左平移个单位 长度 得到的函数的图象关于
3、y 轴对称 则下列说法错误的是 A f x 在 上单调递减 B f x 在 0 上单调递增 C f x 的图象关于 0 对称 D f x 的图象关于 x 对称 解答 解 对于函数 f x sin 2x 0 将函数 f x 的图象向左平移个单位长度 可得 y sin 2x 的图象 再根据得到的函数的图象关于 y 轴对称 可得 即 f x sin 2x 在 上 2x f x 单调递减 故 A 正确 在 0 上 2x f x 没有单调性 故 B 错误 当 x 时 f x 0 故 f x 的图象关于 0 对称 故 C 正确 第 3页 共 16页 当 x 时 f x 1 为最小值 故 f x 的图象关于
4、 x 对称 故 D 正 确 故选 B 6 函数 则函数 y f f x 的零点个数为 A 2B 3C 4D 5 解答 解 设 f x t 令 f t 0 可得 t 1 或 t 1 当 x 0 时 由 f x 1 可得 x 由 f x 1 可得 x 0 当 x 0 时 由 f x 1 可得 无解 f x 1 可得 解得 x 函数 y f f x 的零点个数为 3 故选 B 7 在 ABC 中 BAC 60 BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D 且有 若 则 A B C D 解答 解 如图 设 则 又 AD 是 BAC 的平分线 且 第 4页 共 16页 且 BAC 60 故选 B 8 已知
5、3cos2 4sin2 1 3sin2 2sin2 0 且 都是锐角 则 2 A B C D 解答 解 由 3cos2 4sin2 1 得 3cos2 2cos2 3 由 3sin2 2sin2 0 得 9sin22 4sin22 0 得 9cos22 4cos22 5 得 3cos2 2cos2 3cos2 2cos2 5 得 3cos2 2cos2 联立解得 cos2 cos2 为锐角 sin cos sin2 cos 2 cos cos2 sin sin2 0 2 0 2 故选 A 9 已知向量 满足 1 且对任意实数 x 不等式 x 恒成立 设 与 的夹角为 则 tan2 A B C
6、2D 2 解答 解 当 如图所示 时 对于任意实数 x 或 斜边大于直角边恒成立 第 5页 共 16页 不等式 x 恒成立 向量 满足 1 tan tan tan2 2 故选 D 10 已知两条直线 l1 y m 和 l2 y m 0 l1与函数 y log2x 的图象从左至右相 交于点 A B l2与函数 y log2x 的图象从左至右相交于 C D 记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a b 当 m 变化时 的最小值为 A 16B 8C 8D 4 解答 解 在同一坐标系中作出 y m y m 0 与 y log2x 的图象 解 设 A B C D 各点的横坐标分别为 xA
7、 xB xC xD 则由 log2x m 解得 xA 2 m xB 2m 由 log2x m 0 解得 xC xD a xA xC 2 m 第 6页 共 16页 b xB xD 2m 则 2m 2m 24 1 23 8 当且仅当 m 1 即 m 1 时取 号 的最小值为 8 故选 B 11 已知定义在 0 0 上的函数 f x 且 f 1 1 函数 f x 1 的 图象关于点 1 0 中心对称 对于任意 x1 x2 0 x1 x2 都有 成立 则的解集为 A 1 1 B 1 1 C 1 0 1 D 2019 2019 解答 解 函数 f x 1 的图象关于点 1 0 中心对称 函数 f x 的
8、图象关于点 0 0 中心对称 即 f x 为奇函数 令 g x x2019f x 则 g x g x 即 g x 为偶函数 f 1 1 g 1 f 1 1 任意 x1 x2 0 x1 x2 都有成立 0 对于任意 x1 x2 0 x1 x2 都成立 即 g x 在 0 上单调递增 根据偶函数的对称性可知 g x 在 0 上单调递减 当 x 0 时 可得 g x 1 第 7页 共 16页 0 x 1 当 x 0 时 可得 g x 1 x 1 综上可得 不等式的解集为 x x 1 或 0 x 1 故选 C 12 设函数 f x 的定义域为 R 满足 且当 x 0 1 时 f x x x 1 若对任
9、意 x m 都有 则 m 的最小值是 A B C D 解答 解 f x 2f x 1 当 x 0 1 时 f x x x 1 0 x 1 0 时 x 1 0 1 f x 2f x 1 2 x 1 x 0 x 2 1 时 x 1 1 0 f x 2f x 1 4 x 2 x 1 1 0 将函数大致图象在数值上画出 如图 x 2 1 时 令 4 x 2 x 1 解得 x1 x2 若对任意 x m 都有 f x 所以 m 故选 A 第 8页 共 16页 二 填空题 共二 填空题 共 4 小题 小题 13 设 且 则 cos2 0 解答 解 由 且 则 sin cos 0 所以 sin cos 所以
10、sin2 1 所以 2 2k k Z 所以 cos2 0 故选 0 14 函数 f x log2 x2 3 的单调递减区间是 0 解答 解 由 x2 3 0 得 x 函数 f x log2 x2 3 的的应用为 令 t x2 3 其对称轴方程为 x 0 且在 0 上单调递减 而外层函数 y log2t 是定义域内的增函数 函数 f x log2 x2 3 的单调递减区间是 0 故答案为 0 15 f x 是定义域为 R 的偶函数 对 x R 都有 f x 4 f x 当 0 x 2 时 则 解答 解 根据题意 f x 是定义域为 R 的偶函数 对 x R 都有 f x 4 f x 则有 f x
11、 4 f x 即函数 f x 是周期为 4 的周期函数 则有 f f f 4 f f 21 f 1 4 5 f 1 又由当 0 x 2 时 则 f 1 f 1 1 第 9页 共 16页 则 f f 1 1 1 故答案为 16 已知函数 f x sinx 若方程 3 f x 2 f x m 0 在内有两个不同 的解 则实数 m 的取值范围为0 m 或 2 m 解答 解 令 t f x sinx 则方程 等价为 3t2 t m 0 即 m 3t2 t 3 t 2 由 t f x sinx 得当 t 1 或 0 t 时 t sinx 只有一个根 当 t 1 时 t sinx 有两个不同的根 若 t
12、1 此时 m 3 1 2 此时方程 3t2 t 2 0 得 t 1 3t 2 0 得 t 1 或 t 当 t 时 t sinx 无解 此时方程 3 f x 2 f x m 0 在内只有一个解不满足条件 若方程 3 f x 2 f x m 0 在内有两个不同的解 等价为 当 0 t 时 m 3t2 t 3 t 2 有两个不同的交点 即 0 m 或者 当 t 1 时 m 3t2 t 3 t 2 有 1 个交点 t 时 m t 1 时 m 2 此时 2 m 综上 0 m 或 2 m 故答案为 0 m 或 2 m 第 10页 共 16页 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 小题 17 已知集合 A
13、 为函数 y log2 x2 2ax a2 1 的定义城 集合 B x eln2 x lg1000 1 当 a 1 时 求 A RB 2 若 A B A 求实数 a 的取值范围 解答 解 1 据题意 A x x a 1 x a 1 0 x x a 1 或 x a 1 B x 2 x 3 a 1 时 A x x 2 或 x 0 RB x x 2 或 x 3 A RB x x 2 或 0 x 2 或 x 3 2 A B A B A a 1 3 或 a 1 2 解得 a 1 或 a 4 a 的取值范围为 1 4 18 已知向量 2sinx 2cosx cosx cosx f x 1 1 求函数 f
14、x 的最小正周期和单调递增区间 2 将函数 y f x 的图象上各点的纵坐标保持不变 横坐标先缩短到原来的 把 所得到的图象再向左平移单位 得到函数 y g x 的图象 求函数 y g x 在区 第 11页 共 16页 间 0 上的最小值 解答 解 1 因为 f x 2sinxcosx 2cos2x 1 sin2x cos2x 2sin 2x 3 分 函数 f x 的最小正周期为 T 4 分 由 2k 得 f x 的单调递增区间为 k k k Z 6 分 2 根据条件得 g x 2sin 4x 8 分 当 x 0 时 4x 10 分 所以当 x 时 12 分 19 如图 某园林单位准备绿化一块
15、直径为 BC 的半圆形空地 ABC 外的地方种草 ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池 其余的地方种花 若 BC a ABC 设 ABC 的面 积为 S1 正方形 PQRS 的面积为 S2 1 用 a 表示 S1和 S2 2 当 a 为定值 变化时 求的最小值 及此时的 值 解答 解 1 在 Rt ABC 中 AB acos AC asin 所以 S1 AB AC a2sin cos 3 分 设正方形的边长为 x 则 BP AP xcos 由 BP AP AB 得 xcos acos 解得 x 所以 S2 x2 6 分 第 12页 共 16页 2 sin2 1 8 分 令 t sin2 因
16、为 0 所以 0 2 则 t sin2 0 1 10 分 所以 t 1 设 g t t 1 则 g t t 0 1 所以函数 g t 在 0 1 上递减 11 分 因此当 t 1 时 g t 有最小值 g t min g 1 1 1 此时 sin2 1 解得 所以当 时 的值最小 最小值为 20 如图 已知函数 f x sin x 0 0 点 A B 分别是 f x 的图 象与 y 轴 x 轴的交点 C D 分别是 f x 的图象上横坐标为 的两点 CD x 轴 且 A B D 三点共线 1 求函数 y f x 的解析式 2 若 f 求 f 3 若关于 x 的函数 g x f x log2k 在区间 上恰好有一个零点 求实数 k 的取值范围 第 13页 共 16页 解答 解 1 根据题意 点 A 与点 D 关于点 B 对称 B 点的横坐标为 0 又点 C 与点 D 关于直线 x 对称 f x 的最小正周期 T 4 2 又 f 0 k k Z 解得 k k Z 0 函数 f x sin 2x 2 由 f sin 2 所以 f sin 2 sin 2 cos 2 当 时 2 所以 cos
