北航概率统计期末试题和答案

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1、2007 2008 学年 第一学期期末 北京航空航天大学 考试统一用答题册 一 单项选择题 一 单项选择题 18 分 分 1 一种零件的加工由两道相互独立的工序组成 第一道工序的废品率为p 第二 道工序的废品率为q 则该零件加工的成品率为 A 1pq B 1pq C 1pqpq D 1 1 pq 2 设三个寿命分别为 X Y Z的元件并联成一个系统 则事件 系统的寿命超过 T 可表示为 A XYZT B XYZT C min X Y ZT D max X Y ZT 3 设 1 F x 与 2 F x 分别为两个随机变量的分布函数 令 12 F xaF xbF x 则下列各组数中能使 F x为某

2、随机变量的分布函数的有 A 22 33 ab B 32 55 ab C 31 22 ab D 32 45 ab 4 设 随 机 变 量 X 的 分 布 律 为 15 1 2 3 4 5P Xkkk 则 0 52 5 PX 的值是 A 6 0 B 4 0 C 2 0 D 8 0 5 设随机变量X的分布律为 X02 P0 70 3 则 23 DX A 0 21 B 3 21 C 0 84 D 3 36 6 设 n XXX 21 是取自总体X的样本 则 2 XD的无偏估计为 1 A n i i XX n 1 2 1 1 B 1 1 2 1 1 n i i XX n C n i i XX n 1 2

3、1 D 1 1 2 1 n i i XX n 二 填空题 二 填空题 18 分 分 1 已知 P Ap P Bq P ABpq 则 P AB 2 已知二维随机变量 YX的联合分布函数为 yxF 试用其联合分布函数表 示概率 P aXb aYb 3 设随机变量 0 2 XU 则随机变量 2 XY 在区间 0 4 内的概率密度函数 为 Y fy 4 设随机变量 pnBX 则数学期望 2 X eE 5 设随机变量X服从参数为 2 的指数分布 由契比雪夫不等式得 1 2 1 P X 6 设X和Y是相互独立的两个随机变量 且 5 X 4 1 NY 则 XYE XYD 三 三 7 分 设 X Y的分布律为

4、 Y X 123 1 1 12 1 6 5 12 2 1 6 1 6 0 max ZX Y 求Z的分布律及分布函数 四 四 15 分 设随机变量 YX 的联合概率密度函数为 301 0 0 xxyx f x y 其它 求 1 X与Y的边缘概率密度函数 并判断X与Y是否独立 2 21 P XY 3 ZXY 的概率密度函数 Z fz 2 五 五 12 分 设总体X的概率密度为 0 10 1 其它 xx xf 1 为未知参数 已知 12 n x xx 是取自总体X的一个样本 求 1 未知参数 的矩估计 2 未知参数 的极大似然估计 六 六 10分 在正常情况下 某种产品的某一性能指标 X 服从正态分

5、布 2 31 N 现从某一天生产的产品中抽取9件 其性能指标的样本均值30 x 样本方差 2 0 81s 给定检验水平0 05 从该性能指标抽样结果检验这一天的生产是 否正常 0 95 1 645z 0 975 1 960z 0 95 8 1 8595t 0 975 8 2 3060t 0 95 9 1 8331t 0 975 9 2 2622t 七 七 满分 8 分 此题学过 1 9 章和 11 13 章的学生做 仅学过 1 至 9 章的学生不做此题学过 1 9 章和 11 13 章的学生做 仅学过 1 至 9 章的学生不做 设tYtXtZ cossin 其中 是常数 X与Y是相互独立的随机

6、变 量 且 1 0 NX 3 3 UY 试求 1 2 EX 2 EY 2 tZE tZtZE 2 tZE 3 问 tZ是否为广义平稳过程 七七 8 分 此题讲 1 至 9 章学生做 讲 1 至 13 章学生不做此题讲 1 至 9 章学生做 讲 1 至 13 章学生不做 某工厂有四种不同类型的机床 型号为 1 2 3 4 其台数之比为1 2 3 9 它们在一定时间内需要修理的概率之比为1 3 2 1 当有一台机床需要修理时 问这台机床恰是型号为 1 的机床的概率是多少 八 八 满分 12 分 此题学过 1 至 9 章和 11 13 章的学生作 仅学过 1 至 9 章的 学生不做 此题学过 1 至

7、 9 章和 11 13 章的学生作 仅学过 1 至 9 章的 学生不做 四个位置 1 2 3 4 在圆周上逆时针排列 粒子在这四个位置上随机游动 粒 子从任何一个位置 以概率 3 2 逆时针游动到相邻位置 以概率 3 1 顺时针游动到相 邻位置 以jnX 表示时刻n粒子处在位置 4 3 2 1 jj 3 试作 1 写出齐次马尔可夫链 2 1 nnX的状态空间 2 求齐次马尔可夫链 2 1 nnX的一步转移概率矩阵 3 求两步转移概率矩阵 2 P 4 求该齐次马尔可夫链的平稳分 布 八八 12 分 此题讲 1 至 9 章学生做 讲 1 至 13 章学生不做此题讲 1 至 9 章学生做 讲 1 至

8、 13 章学生不做 设总体 2 0 3 XN 12 n XXX 为X一个样本 X为样本均值 设 ii ZXX 1 2 in 求 1 i D Z 2 12 E Z Z 答案 一 单项选择题 一 单项选择题 18 分 分 1 C 2 D 3 B 4 C 5 D 6 A 1 C 2 D 3 B 4 C 5 D 6 A 二 填空题 二 填空题 18 分 分 1 1p 2 F b bF a aF a bF b a 3 1 4 y 4 2 1 ne pq 5 1 4 6 5 125 三 三 7 分 Z123 P1 121 25 12 01 1 1212 7 1223 13 Z z z Fz z z 4 四

9、 四 15 分 1 2 3 01 0 X xx fx 其它 2 3 1 2 01 0 Y yy fy 其它 X与Y不独立 2 1 1 3 1 2 21 3 x x P XYdxxdy 1 2 1 3 3 3 7 9 2 xx dx 3 Z fzf x zx dx 1 分02 0 Z zzfz 或 2 2 9 01 3 8 z z Z zfzxdxz 2 1 2 3 12 3 1 24 z Z z zfzxdx 五 五 12分 1 解因为 1 0 1 1 2 EXxx dx 即1 2 EX 得 21 1 EX EX 得矩估计为 21 1 x x 2 解 似然函数 n i i n n i in x

10、xfxxL 11 1 1 10 i x n i i xnL 1 ln 1ln ln n i i x n d Ld 1 ln 1 ln 令0 ln d Ld 得到极大似然估计1 ln 1 n i i x n 六 六 10分 解 检验 0010 31 HH 若 0 H成立 则 ns T 0 1 nt 5 0 10 3 x T Sn 2 分 t0 975 8 2 3060 T t0 975 8 拒绝H0 生产不正常 七 七 8分 解 1 由题设条件得1 1 0 2 EXDXEX 1 1 0 2 DYEYEY 0 EYEXXYE 2 分 2 0cossin EYtEXttZE 1 分 tZtZE 2

11、sinsinEXtt sincos cos sinXYEtttt 2 coscosEYtt sinsin tt coscos tt cos 2 分 1 2 tZE 1 分 3 因为0 tZE 1 2 tZE tZtZE cos 不依赖于t 所以 tZ是广义平稳过程 2 分 七七 8分 解 设 i A表示 任取一台机床是型号为i的机床 B表示 任取一台机床 它需要修理 则由 Bayes 公式 得 11 1 4 1 ii i P A P B A P A B P A P B A 91 9 157 91322311 22 157157157157 k kkkk 6 八 八 12 分 解 1 依题意 状

12、态空间 4 3 2 1 S 3 分 2 转移概率矩阵 0 3 1 0 3 2 3 2 0 3 1 0 0 3 2 0 3 1 3 1 0 3 2 0 44ij pP 3 分 3 2 2 PP 0 3 1 0 3 2 3 2 0 3 1 0 0 3 2 0 3 1 3 1 0 3 2 0 0 3 1 0 3 2 3 2 0 3 1 0 0 3 2 0 3 1 3 1 0 3 2 0 9 4 0 9 5 0 0 9 4 0 9 5 9 5 0 9 4 0 0 9 5 0 9 4 3 分 4 1 4321 43214321 pppp Ppppppppp 4321 pppp 4321 pppp 0 3

13、 1 0 3 2 3 2 0 3 1 0 0 3 2 0 3 1 3 1 0 3 2 0 7 3 2 3 1 421 ppp 3 1 3 2 312 ppp 3 1 3 2 423 ppp 3 2 3 1 314 ppp 1 4321 pppp 解之得 4 1 4321 pppp 故平稳分布为 4321 pppp 4 1 4 1 4 1 4 1 3 分 八八 12 分 1 11 iik k i n D ZDXX nn 9 1 n n 2 2 121212 E Z ZE X XX XX XX 22 1 2 E XE X n 9 n 2008 2009 学年 第一学期期末 北京航空航天大学 考试统

14、一用答题册 一 单项选择题 每小题一 单项选择题 每小题 3 分 满分分 满分 18 分 分 1 设 1234 XXXX是来自正态总体 2 0 N 的样本 设 4 1 4 1 i i XX 当 2 时 概率 21 XP最大 A 6 ln2 B 6 ln2 C 3 2ln2 D 3 2ln2 2 设 总 体X的 密 度 函 数 为 1 1 01 0 xxx f x 1 其它 其 中0 12 n XXX 是来自总体X的样本 则参数 的矩估计量为 A 1 X X B 2 2 X X C 2 X X D 2 1 X X 3 设 1 n XX 是来自正态总体 2 N 的样本 当c 时 222 Xc 是

15、2 的无偏估计 其中 22 1 1 n i i XX n n i i X n X 1 1 A 1 1n B 1 1n C 1 n D 1 n 4 设随机变量 2 NX 则 XE A 0 B C 2 2 D 5 两人约定在某地相会 假定每人到达的时间是相互独立的 且到达时间在中午12时 到下午1时之间服从均匀分布 则先到者等待10分钟以上的概率为 A 36 25 B 72 25 C 52 47 D 36 11 6 设 n XXX 21 是总体 2 N的样本 已知 下列几个作为 2 的估计量中 较优的是 A6 1 A 2 1 2 1 1 XX n n i i B 2 1 2 2 1 1 XX n

16、n i i C 2 1 2 3 1 n i i X n D 2 1 1 2 4 1 1 n i i X n 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 3 分 满分分 满分 18 分 分 1 有n个白球与n个黑球任意地放入两个袋中 每袋装n个球 现从两袋中各取一 球 则所取两球颜色相同的概率为 2 在无线电通讯中 由于随机干扰 当发出信号为 0 时 收到信号为 0 不清 和 1 的概率分别为 0 7 0 2 0 1 当发出信号为 1 时 收到信号为 1 不清和 0 的概率分别为 0 9 0 1 和 0 如果在发报过程中发出 0 和 1 的概率分别是 0 4 和 0 6 当收到信号为不清时 原发信号是 1 的概率为 3 三门火炮同时炮击一敌舰 每炮发射一弹 设击中敌舰一 二 三发炮弹的概率 分别为 0 6 0 5 0 3 而敌舰中弹一 二 三发时被击沉的概率分别为 0 3 0 6 0 9 则敌舰被击沉的概率为 4 设随机变量X的分布函数为 xF 随机变量Y服从两点分布 paYP 1 pbYP 10 p 并且X与Y相互独立 则随机变量YXZ 的分布函数 zFZ 5 设 12 n XXX 是来自正