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1、圆锥曲线方程第八章教材分析 总体设计 一本章知识结构框图椭圆椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质双曲线双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性质抛物线抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性质圆锥曲线方程 二学习目标1掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质；理解椭圆的参数方程2掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质3掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质4了解圆锥曲线的简单应用5结合教学内容，进行运动、变化观点的教育 三内容编排 1本章主要研究圆锥曲线的定义、方程、几何性质，以及它们在实际中的简单应用 椭圆、双曲线、抛物线都是平面内符合某种条件的点的轨迹，如果用综合法来研究它们
2、，是很困难的，而用坐标法就方便得多在第七章中，学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念已经有一些了解，并且已学过求简单曲线方程和利用曲线方程研究曲线几何性质的初步知识本章是在这个基础上学习求圆锥曲线的方程，研究它们的几何性质，并在学习这一章的过程中，使学生进一步熟悉和掌握坐标法 由于受教学时间和学生基础的限制，普通高中的教学内容只能选取最基础的知识和最基本的技能，也就是说，本章教材力求突出主干知识，精选内容具体作法是：第一，在研究圆锥曲线的方程时，主要介绍标准方程，简单介绍椭圆的参数方程，不涉及一般方程第二，在利用曲线方程讨论曲线的几何性质时，只选择最简单、最主要的性质因为学生掌握了这些简
3、单的、基本的性质以后，能够对曲线有基本的了解，可以利用它们解决一些简单的问题，可以满足基本的需要，同时，通过这些简单、基本性质的学习，学生可以学到讨论曲线几何性质的一般方法，如果需要对曲线做更深一步的研究，学生可以独立完成这样既可以保证多数学生学好教学大纲规定的基础知识，又给学有余力的学生留有进一步发展的余地 2这一章的内容可以采用不同的组织方法例如：可以把椭圆、双曲线、抛物线合起来作为一个整体，先讨论它们的定义，再求它们的方程，最后研究它们的几何性质及应用；也可以分别研究椭圆、双曲线、抛物线，对每种曲线按定义、方程、几何性质几项来讨论这两种组织方法各有利弊前一种方法可以使学生对圆锥曲线有一个
4、统一的认识，也可以节省教学时间，但这样做教学难度较大；后一种方法对于大多数学生来说容易些，但会削弱几种圆锥曲线之间的联系，使这一部分知识凌乱，重复过多考虑到大多数学生的实际情况，教科书采用了后一种组织方法，并注意克服它的弊端教科书对三种圆锥曲线不平均使用力量，也不简单重复，而是把重点放在椭圆上，以椭圆为例交代求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法，在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固另外在教学椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、几何性质时，注意通过对比找出它们的共同点和不同点，然后又在小结与复习中把它们统一起来总结，主次有序，有分有合 采用椭圆双曲线、抛物线分别编写时，这三种曲线的编排顺序也可以有
5、不同的选择也就是说，可以按椭圆、双曲线、抛物线的顺序，也可以按抛物线、椭圆、双曲线的顺序与椭圆、双曲线相比，抛物线的方程简单，先讲抛物线可以做到由简到繁；而先讲椭圆，与第七章圆的方程衔接自然，各有所长考虑到教学的习惯，教科书采用了前一种顺序 3椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质，在生产和科学技术中有广泛的应用，同时，这些知识，包括坐标法，也是今后进一步学习数学的基础所以椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质，以及坐标法是这一章的重点 坐标法是借助坐标系，以代数中数与式的知识为基础来研究几何问题的一种数学方法因此，学习这一章时需要一定的代数知识作为基础，特别是对数式变形和解方程组的能
6、力要求较高例如，在求椭圆和双曲线标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，在解某些题目时，还会遇到由两个二元二次方程组成的方程组的问题，等等而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本章的需要这是教学的难点本章采取缺什么补什么的办法来补充这些知识，并且结合具体情况，分散在相关内容中例如，在由定义求椭圆、双曲线的标准方程时，遇到含有两个根式的等式化简问题，教材在这里详细介绍如何化简这类方程；利用待定系数法求圆锥曲线的标准方程时，会遇到由两个二元二次方程组成的方程组，这时教材详细地讲解它们的解法教学时，要将这些内容当作新知识认真安排，组织练习，且不可以为是代数知识，不属于解析几
7、何的教学任务一带而过教材对这两项内容采取循序渐进的方法逐步提高要求，具体安排是，在第81节和82节重点解决根式的化简问题，在第83节和84节重点解决解二元二次方程组的问题，第85节和86节再研究直线与圆锥曲线相交的问题 二元二次方程组没有通用的求解公式，也不能简单地用归类的方法给出一般解法解二元二次方程组的主要思路就是消元降次，即把未知问题转化为已知问题来解决消元降次的方法要根据方程组的形式决定，要根据具体情况进行分析，这对提高学生分析问题和解决问题的能力有很大帮助，教学时要重视这项内容，认真准备，注意安排好练习 由于教学大纲对解二元二次方程组的要求不高，所以本章涉及的二元二次方程组都比较特殊
8、，它们或者是其中有一个一次方程，或者是两个方程都没有一次项，用简单的变量代换便可以解决问题教学时要把握好教学要求 4用坐标法研究曲线（几何图形），实际上要解决两个问题：第一是由曲线求方程，第二是利用方程讨论曲线的性质对于学习坐标法来说，圆锥曲线是一个比较典型的问题因此，要充分利用这一章的教学使学生比较好地掌握坐标法 由曲线求方程，要解决如何将曲线上的点所满足的条件转化为曲线上点的坐标所适合的方程；在解析几何里所讨论的曲线的性质通常包括：（1）曲线的范围；（2）曲线的对称性；（3）曲线的截距（与坐标轴交点的坐标），以及不同曲线所具有的一些特殊性质学生要真正掌握这些知识，需要有一个过程，而且必须结
9、合具体曲线的学习来完成教科书采取了反复训练、逐步提高的方法，在研究椭圆时，对椭圆方程的推导过程，对椭圆几何性质的讨论都叙述得比较详尽，然后在研究双曲线和抛物线时，再通过反复运用、反复练习，使学生形成一定的技能和能力 用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，问题的大小、深浅差别很大圆锥曲线这一部分可编选的题目很多，而且可以编出综合性很强的难题教学时，要注意控制教学要求，不要急于求成，不要一步到位；对不同的学生要区别对待，对于大多数学生不能要求过高，以保证他们达到教学大纲所规定的基本要求四课时分配本章教学时间约需18课时，具体分配如下（仅供参考）：81 椭圆及其标准方程 约3课时82 椭圆的
10、几何性质 约4课时83 双曲线及其标准方程 约2课时84 双曲线的几何性质 约3课时85 抛物线及其标准方程 约2课时86 抛物线的几何性质 约2课时 小结与复习 约2课时五学法指导1信息技术的介入，给学生学习本章内容增添了新的工具。在信息技术支持下，可以更好地理解解析几何的基本思想，更好地掌握坐标法这一重要的解题方法，因此学习本章时应该注意充分发挥信息技术的优势。信息技术在本章大有用武之地。2解析几何的内容主要有两部分，一是求曲线的方程，二是根据曲线的方程研究曲线的性质。在探求点的轨迹，寻求曲线方程的过程中，信息技术使动点真正动了起来，彻底改变了传统教学中动点并不运动的缺憾。学生可以利用信息
11、技术，亲自操作，在变动的状态下，分析引起动点运动的原因，发现各几何对象之间的逻辑联系，了解轨迹形成的过程，给建立动点坐标之间的联系曲线的方程带来实质性的帮助。同样，可以在信息技术的帮助下研究曲线的性质，更好地落实“数形结合”的数学思想方法。通过操作实践，发现曲线的性质，比如曲线的范围、对称性；离心率对椭圆的扁平程度、双曲线的开口大小的影响，甚至发现双曲线的渐近线，等等，归纳、猜想自己的发现，及时加以验证，体验数学的本质。3在信息技术的帮助下，与学习伙伴展开讨论，研究问题。4注意信息技术本身的智力开发作用。学生可以在不同制作方法的探讨过程中开发智力。同一个问题可以有几种甚至十几种不同的制作方法（
12、比如仅椭圆就有十几种制作方法）。同一个问题的制作方法合理性的探讨有利于对学生的思维能力的培养产生作用。5注意适度形象化。在研究曲线性质的过程中，既可以先绘制出图形观察曲线性质，然后从解析的角度认识其原因，也可以先就解析式研究曲线的性质，然后再加以验证。比如方程（k3）x2+（5k）y2（k3）（5k）所表示的曲线形状的研究，信息技术技术可以演示在k连续变动的情况下曲线形状变化的过程，发现各种形状的曲线之间的内在联系。6信息技术可能使得原先有一定难度的学习内容变得容易起来，因此可以根据学生的具体情况让学生学习更多的数学，更好的数学，甚至更难的数学，利用信息技术可以将一些问题适度开放，进行更加深入
13、的研究。六教法建议 1信息技术在解析几何这部分内容的教学中可以发挥更大的作用，教师应该充分运用信息技术搞好与数学教学的整合。 从教学方法上讲，教师应该注意改变“教师讲学生听”的教学方式，让学生利用信息技术比较多地在操作中探究解析几何。2因为解析几何主要由两部分内容组成，一是求曲线的方程，另一个是通过研究曲线的方程研究曲线的性质。围绕这两部分内容的特点，信息技术主要用在以下几个方面：让学生在操作中探求点的轨迹，比如椭圆定义的教学，可以让学生亲自制作（教师在制作方法上适当指导），学生可以在操作中发现动点变动所满足的几何条件建立曲线方程的关键。可以发现动点变动的原因，容易抓住问题的本质。在探求点的轨
14、迹，寻求曲线方程的过程中，信息技术使动点真正动了起来，由“静”变“动”是信息技术介入后在探究点的轨迹中的最重要变化，教师要抓住这一特点能够动态演示或者在动态中观察的尽可能让学生在动态中研究问题。“数形结合”是解析几何的主要特点，在信息技术的帮助下可以更好地培养“数形结合”的数学思想方法。让亲自操作、观察以及通过学生之间的交流，发现曲线的性质，比如曲线的范围、对称性；离心率对椭圆的扁平程度、双曲线的开口大小的影响，甚至发现双曲线的渐近线，等等。可以先让学生猜想、归纳自己的发现，及时加以验证，体验数学的本质，教师帮助学生总结、规范。注意不要图省事，把有关结论“抛”给学生，忽视能力的培养。3鼓励学生
15、利用信息技术提出问题。传统的教学，问题往往是由教师提出来的，信息技术的采用，就可能使学生更方便地产生联想，提出自己的设想，然后探求结论，教师应该鼓励学生利用信息技术去发现，提出问题。对于学生提出的问题，可以分为几个层次，实行不同的要求。比如“一个三角形的两个顶点固定，另一个顶点在定圆上运动，探求外心的轨迹”，这个问题并不难，但是学生发散思维，提出探究垂心的轨迹，问题就不那么容易了，让学生用信息技术去试一试，但不必追求问题的彻底解决。老师应该鼓励学生去做，因为其意义可能已经远远超出问题的本身，对于培养创新意识可能有一定的价值。4“兴趣是最好的老师”，信息技术的采用使得解析几何的教学生动起来，通过运用信息技术可以激发学生研究问题的兴趣，引发学习动机。教师应该充分运用信息技术创设教学情境，利用信息技术提出问题，调动学生学习数学的积极性教材8.2节中的“数学实验”就是一个很好的例子。如
