《圆锥曲线与平面向量的综合 人教.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线与平面向量的综合 人教.doc（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、圆锥曲线与平面向量的综合【例4】(2004年辽宁卷.19)设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求： （）动点P的轨迹方程； （）的最小值与最大值. 解： （）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组 的解. 将代入并化简得，所以于是设点P的坐标为则消去参数k得 当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程，所以点P的轨迹方程为解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以 得，所以当时，有 并且 将代入并整理得 当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，2），
2、这时点P的坐标为（0，0）也满足，所以点P的轨迹方程为（）由点P的轨迹方程知所以 故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，最大值为 【例5】(2004年天津卷.理22) 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P，Q两点. （）求椭圆的方程及离心率；（）若，求直线PQ的方程；（）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明. 解： （）由题意，可设椭圆的方程为. 由已知得解得所以椭圆的方程为，离心率.（）由（1）可得A（3，0）.设直线PQ的方程为.由方程组得依题意，得.设，则， . 由直
3、线PQ的方程得.于是. ，. 由得，从而.所以直线PQ的方程为或（）证明：.由已知得方程组注意，解得因，故.而，所以.【例6】已知是椭圆上的两点，为坐标原点，直线的方向向量依次为和,且是一个与无关的定值.（）求的值;（）若双曲线的焦点在轴上,渐近线方程为,椭圆与双曲线的离心率依次为和,求的取值范围.解：（）由题设,直线的方程为,直线的方程为.由方程组 解得 . , 同理可得, . 因为与无关,则有. 解得 . （）双曲线的渐近线方程是 . 双曲线的方程为所以, ,. 令,由可知,. 设,则 由于在内是增函数,所以. 于是,的取值范围是.【例7】已知向量，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满
4、足，其中O是坐标原点，k是参数，（）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；（）如果 动点M的轨迹是一条圆锥曲线， 其离心率 e满 足e，求k的取值范围.解： () 令M(x,y)，则代入条件这就是动点M的轨迹方程当k=1时，表示直线y=0；当k=0时，表示圆；当k1时，表示双曲线；当0k1时或k0时，表示椭圆 （）由点的轨迹为椭圆 10k1时，a2=1，b2=1-k，c2=k，e2=k2k0时，结合综上所述：【例8】已知动直线l : y=kx+2与椭圆+y2=1交于A, B两点, y轴上有一动点P(0,b).令向量v= (a,b),其中a为一个给定的常数(a,且有b|+与v共线=(,(0.+).
5、求出a的值.解 ：设A 为(x1, y1), B为(x2, y2),线段AB中点为M(xo, yo), +=2+与v共线等价于与v共线,=(xo, yob), v=(a,b),由与v共线得bxoa(yob)=0,即 b xoa yo+a b=0,由, 消去y得 +(kx+2)2=1,即(1+4k2)x2+16kx+12=0, () 两根为x1, x2, x1+x2=. xo=, yo= kxo+2=, +ab=0, b=.b|+与v共线=(,(0,+), ,或0,34k2+10,或4k2+10,又方程()的=(16k)2412(1+4k2)0,得k,或k.必须且只需函数f (x)=4x2x+1,在x,或x时,最小值为3. f (x)图象的对称轴是x=0,于是由f (x)图象可知:(1)当0时 的斜率为k= 的方程为整理得 （）是.设c=,由椭圆的第二定义得 |PF1|=a+ =-结论成立用心 爱心 专心 115号编辑 8
