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1、圆锥曲线上点的三重性http:/www.DearEDU.com李芳圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，也是高考考查的重点内容，难度上易、中、难三档题都有，但是考生得分并不高，其主要原因是对圆锥曲线的定义理解不深。高考中考查的题多数是与圆锥曲线上的点有关，如果能对圆锥曲线上的点理解深刻，处理恰当，问题就能迎刃而解。圆锥曲线上的点具有三重性。性质一：满足第一定义。即圆锥曲线上的点到两焦点的距离之和或差等于2a。运用这个性质，应从线段长即圆锥曲线上的点到焦点的距离入手，利用解三角形的知识解决问题。性质二：坐标满足方程。即圆锥曲线上点的坐标满足圆锥曲线的方程。设出点的坐标代入圆锥曲线方程，应从坐标运算和
2、解方程组入手。性质三：满足第二定义。即把圆锥曲线上的点到焦点的距离转化到准线的距离，常利用焦半径公式。例1. 如图，设椭圆的两个焦点分别是F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2是等腰三角形，求椭圆的离心率。点P在椭圆上，因此它具备三重性。解法一：利用性质一，则因为等腰直角三角形，所以解法二：利用性质二，设椭圆方程为则把点P的坐标代入椭圆方程得解得，则解法三：利用性质三，因为F1PF2是等腰直角三角形，所以于是得 例2. 已知F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足F1PF290，求F1PF2的面积。这里，由题意知，点P在双曲线上，因此具备三重性。解法一：利用性质一，不妨设点P在右支上，两边平方得，在F1PF2中根据勾股定理得，所以的面积等于解法二：利用性质二，不妨设点P在右支上，设点P（x0，y0），则根据点P在双曲线上得由方程组消去解得的面积等于解法三：利用性质三，在中根据勾股定理得的面积等于练习： 1. 已知F1、F2是双曲线的两焦点，以F1F2为边作正三角形F1MF2，若边MF1的中点P在双曲线上，求双曲线的离心率e。 2. 已知点P在椭圆上，F1PF260，求椭圆的离心率的取值范围。答案：1. 2. 用心 爱心 专心 115号编辑 2
