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1、数学 理工类 试题答案 第 页 共 页 数学 理工类 参考答案 评分说明 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制定相应的评分细则 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果 后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 只给整数分 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 分 命题意图 本小题考查集合运算 不等式解法 指数式的值等基础知识 考查运算求解能力 解析
2、选择 因为 所以 命题意图 本小题考查复数的运算 共轭复数概念等基础知识 考查运算求解能力 解析 选择 由 所以其共轭复数 命题意图 本小题考查三角函数的定义 诱导公式等基础知识 考查运算求解能力 应用意识 解析 选择 角 的终边经过点 槡 所以 槡 所以 槡 命题意图 本小题考查椭圆的定义 基本量的关系 离心率等基础知识 考查运算求解能力 数 形结合思想 应用意识 解析 选择 由题意有 槡 所以 槡 所以离心率 槡 槡 槡 命题意图 本小题考查函数图象和性质等知识 考查数形结合等数学思想 解析 选择 由题当 时 排除 当 时 命题意图 本小题考查程序框图及其应用 指数式和对数式求值等基础知识
3、 考查运算求解能 力 应用意识 解析 选择 依程序框图运行 当输入 时 输出 当输入 时 输出 则 命题意图 本小题考查平面向量的基本运算 三角形法则等基础知识 考查数形结合思想 运算 求解能力 应用意识 数学 理工类 试题答案 第 页 共 页 解析 选择 因为 所以 故 命题意图 本小题考查直线和圆的方程 点到直线的距离 直线与圆的位置关系等基础知识 考 查运算求解能力 分类讨论思想 数形结合思想 应用意识 解析 选择 圆的标准方程为 圆心 到直线 槡 的 距离为 槡 槡 圆的半径 结合图形知 圆上有三点到直线 的距离为 命题意图 本小题考查概率等基本知识 渗透数学文化 考查抽象概括能力和应
4、用意识 解析 选择 设图 三角形的面积为 则图 中每个小阴影三角形的面积为图 三角形面 积的 于是所求的概率为 命题意图 本小题考查三角函数图象及其性质等基础知识 考查逻辑推理能力 数形结合思 想 应用意识 解析 选择 由 知 是 图象的两 个对称中心 则 是 的整数倍 是函数 的最小正周期 结论 错误 因为 所以结论 正确 由 解得 当 时 在 上单调递增 则 在 上单调递 增 在 上单调递减 结论 错误 的图象向右平移 个单位长度后所得图象 对应的函数为 是偶函数 所以图象关于 轴对 称 结论 正确 命题意图 本小题考查空间直角坐标系 空间几何体的外接球 球的体积等基础知识 考查空 间想象
5、能力 推理论证能力 运算求解能力 应用意识 解析 选择 由题意知 该四面体侧棱 底面 且底面是边长为 槡 的正三角形 侧 棱 所以底面正三角形的外接圆半径为 球心必在过 中点且平行于底面的平面 上 所以球半径 槡 槡 所以球的体积为 槡 槡 命题意图 本小题考查导数的几何意义 函数与导数综合运用等知识 考查抽象概括等数学能 力以及数学抽象能力 考查函数与方程 化归与转化等数学思想 解析 选择 设切点 则由 得 又 由 得 则 有 数学 理工类 试题答案 第 页 共 页 令 则 故当 槡 时 当 槡 时 故当 槡 时 取得极大值也即最大值 槡 二 填空题 分 命题意图 本小题考查圆柱的体积公式
6、扇形的面积等基础知识 考查空间想象能力 运算求 解能力 应用意识 解析 填 槡 由题意知圆柱截掉后剩余部分的底面面积为 槡 所以剩余部分的 体积为 槡 命题意图 本小题考查概率 独立重复试验等基础知识 考查抽象概括能力和应用意识 解析 填 甲获胜的方式有 和 两种 则甲获得冠军的概率 命题意图 本小题考查函数奇偶性 单调性等基础知识 考查化归与转化等数学思想以及运算 求解等能力 解析 填 由题知 为 上的偶函数 当 时 则 可知 在 上单调递增 不等式 化为 则有 解得 命题意图 本小题考查线性规划的实际应用 考查阅读理解能力 应用意识 解析 填 设 安 排 甲 型 车 辆 乙 型 车 辆 由
7、 题 意 有 即 目标函数 作出不等式组 所表示的平面区域为 四点 围成的梯形及其内部 包含的整点有 作直线 并平移 分析可得当直线过点 时 最小 即 元 三 解答题 共 分 命题意图 本小题考查等差数列 等比数列的通项公式 前 项和公式及其应用等基础知识 考查运算求解能力 应用意识 解析 由题意有 当 时 所以 分 当 时 数学 理工类 试题答案 第 页 共 页 两式相减得 整理得 所以数列 是以 为首项 为公比的等比数列 分 所以数列 的通项公式 分 由 所以 所以数列 是以 为首项 为公差的等差数列 分 所以 分 命题意图 本小题考查正弦定理 两角和的正弦公式 三角函数求最值等基础知识
8、考查运算 求解能力 逻辑推理能力 应用意识 解析 由 根据正弦定理有 分 所以 所以 分 因为 为三角形内角 所以 所以 因为 为三角形内角 所以 分 由 槡 根据正弦定理有 所以 分 所以 槡 槡 槡 分 当 时 等号成立 所以 的最大值为 槡 分 另解 由 槡 根据余弦定理有 槡 数学 理工类 试题答案 第 页 共 页 即 分 因为 所以 分 即 槡 当且仅当 槡 时 等号成立 所以 的最大值为 槡 分 命题意图 本小题考查回归方程 统计案例等基本知识 考查回归分析的基本思想 考查抽象 概括等能力和应用意识 以及数据分析能力 解析 由题 与温度 又可以用线性回归方程来拟合 设 分 所以 故
9、 关于 的线性回归方程为 分 由 可得 于是产卵数 关于温度 的回归方程为 当 时 当 时 因为函数 单调递增 所以 在气温在 之间时 一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是 的正整 数 分 命题意图 本小题考查四棱锥 平面与平面垂直的判定定理 二面角的余弦值等基础知识 考 查空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 创新意识 解析 因为 为线段 的中点 所以 分 因为 底面 平面 所以 又因为底面 为正方形 所以 所以 平面 因为 平面 所以 分 因为 所以 平面 因为 平面 所以平面 平面 分 数学 理工类 试题答案 第 页 共 页 由题意 以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系如图所示 令
10、 则 其中 易知平面 的一个法向量 分 设平面 的法向量 由 即 令 则 是平面 的一个法向量 分 槡 槡 由 所以 槡 槡 所以 槡 槡 故若 为线段 上的动点 不含 二面角 的余弦值的取值范围是 槡 分 命题意图 本小题考查函数图象和性质 函数零点 导数在研究函数中的应用等基本知识 考 查了学生化归与转化 推理论证等数学思想 以及数学抽象 数学运算等能力 解析 由 得 因为 为单调函数 所以当 时 或 恒成立 由于 于是只需 或 对于 恒成立 分 令 则 当 时 所以 为增函数 则 又当 时 则 不可能恒成立 即 不可能为单调减函数 当 即 时 恒成立 此时函数为单调递增函数 分 因为 所
11、以 是 的一个零点 由 知 当 时 为 的增函数 此时关于 的方程 仅一解 即函数 仅一个零点 满足条件 分 当 时 由 得 当 时 数学 理工类 试题答案 第 页 共 页 则 令 易知 为 的增函数 且 所以当 时 即 为减函数 当 时 即 为增函数 所以 在 上恒成立 且仅当 于是函数 仅一个零点 所以 满足条件 分 当 时 由于 在 为增函数 则 当 时 则存在 使得 即使得 当 时 当 时 所以 且当 时 于是当 时存在 的另一解 不符合题意 舍去 分 当 时 则 在 为增函数 又 所以存在 使得 也就使得 当 时 当 时 所以 且当 时 于是在 时存在 的另一解 不符合题意 舍去 综
12、上 的取值范围为 或 分 选考题 分 命题意图 本小题考查参数方程与极坐标方程 三角恒等变换等基础知识 考查核心素养的数 学运算 逻辑推理 应用意识 解析 由 为参数 得曲线的普通方程为 分 将 代入 得 即 也可得分 分 由 知 设点 的极坐标为 因为 则点 的极坐标为 分 所以 数学 理工类 试题答案 第 页 共 页 分 命题意图 本小题考查基本不等式 不等式的证明方法 含绝对值的不等式等基本知识 考查 学生化归与转化等数学思想和推理论证等数学能力 以及逻辑推理 数学运算等能力 解析 由题 槡 槡 槡 槡 当且仅当 时取等号 所以 槡 槡 最大值为 分 由题 槡 当且仅当 即 取等号 所以 的最小值为 又 不等式 对任意 恒成立 只需 即可 解得 即 的取值范围是 分
