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1、四川省彭水中学高2007届高三数学第一轮复习讲座三 数列 主讲教师：叶长春 2006.12.17一、数列的定义和基本问题1通项公式：（用函数的观念理解和研究数列，特别注意其定义域的特殊性）；2前n项和：；3通项公式与前n项和的关系（是数列的基本问题也是考试的热点）：二、等差数列1定义和等价定义：是等差数列；2通项公式：；推广：；3前n项和公式：；4重要性质举例与的等差中项；若，则；特别地：若，则；奇数项，成等差数列，公差为；偶数项，成等差数列，公差为.若有奇数项项，则；设， 则有；当时，有最大值；当时，有最小值.用一次函数理解等差数列的通项公式；用二次函数理解等差数列的前n项和公式.三、等比数
2、列1定义：成等比数列；2通项公式：；推广；3前n项和；（注意对公比的讨论）4重要性质举例与的等比中项G（同号）；若，则；特别地：若，则；设， 则有；用指数函数理解等比数列（当时）的通项公式.四、等差数列与等比数列的关系举例1成等差数列成等比数列；2成等比数列成等差数列.五、数列求和方法1等差数列与等比数列；2几种特殊的求和方法（1）裂项相消法；（2）错位相减法：, 其中是等差数列， 是等比数列 记；则，（3）通项分解法：六、递推数列与数列思想1递推数列（1）能根据递推公式写出数列的前几项；（2）常见题型：由，求.解题思路：利用2数学思想（1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法）若，则；（2
3、）迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法）若，则；（3）逆序相加（等差数列求和公式的推导方法）；（4）错位相减（等比数列求和公式的推导方法）.七、典型例题 例1、已知数列an为等差数列，公差d0，其中，恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+kn。解题思路分析：从寻找新、旧数列的关系着手解：设an首项为a1，公差为d a1，a5，a17成等比数列 a52=a1a17 （a1+4d）2=a1(a1+16d) a1=2d 设等比数列公比为q，则 对项来说，在等差数列中： ；在等比数列 注：本题把k1+k2+kn看成是数列kn的求和问题，着重分析kn的通项公式。这是解决数列问题
4、的一般方法，称为“通项分析法”。例2、设等差数列an的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.()若a11=0,S14=98,求数列an的通项公式；()若a16，a110，S1477，求所有可能的数列an的通项公式.解：（）由S14=98得2a1+13d=14, 又a11=a1+10d=0, 故解得d=2,a1=20.因此，an的通项公式是an=222n,n=1,2,3（）由得 即由+得7d11 即d。 由+得13d1 ；即d-（4）于是d 又dZ,故d=1将代入得10a112. 又a1Z,故a1=11或a1=12.所以，所有可能的数列an的通项公式是：an=12-n和an=13-n,n=1
5、,2,3,例3、记等比数列的前项和为，已知S4=1，S8=17，求的通项公式。解：设等比数列的公比为q，由S4=1，S8=17，知q1，所以得，由（1）、（2）两式得，整理得， q4=16，q=2， 将q=2代入（1）得a1=，所以；将q=2代入(1)得，所以.例4、正数数列an的前n项和为Sn，且，求：（1） 数列an的通项公式；（2）设，数列bn的前n项的和为Bn，求证：Bn.解题思路分析：（1）涉及到an及Sn的递推关系，一般都用an=Sn-Sn-1（n2）消元化归。 4Sn=(an+1)2 4Sn-1=(an-1+1)2（n2） 4(Sn-Sn-1)=(an+1)2-(an-1+1)2
6、 4an=an2-an-12+2an-2an-1整理得：(an-1+an)(an-an-1-2)=0 an0 an-an-1=2 an为公差为2的等差数列在中，令n=1，a1=1 an=2n-1 （2） 注：递推是学好数列的重要思想，例本题由4Sn=(an+1)2推出4Sn-1=(an-1+1)2，它其实就是函数中的变量代换法。在数列中一般用n-1，n+1等去代替n，实际上也就是说已知条件中的递推关系是关于n的恒等式，代换就是对n赋值。例5、已知an是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和，（1）用Sn表示Sn+1；（2）是否存在自然数c和k，使得成立。 解题思路分析：（1） （2）（
7、*） 式（*） Sk+1Sk 又Sk4 由得：c=2或c=3当c=2时 S1=2 k=1时，cSk不成立，从而式不成立 由SkSk+1得： 当k2时，从而式不成立 当c=3时，S12，S2=3 当k=1，2时，CSk不成立 式不成立 当k3时，从而式不成立综上所述，不存在自然数c，k，使成立例6在m（m2）个不同数的排列P1P2Pn中，若1ijm时PiPj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数.（）求a4、a5，并写出an的表达式；（）令，证明，n=1,2,解（）由已知
8、得， . （）因为，所以 ； 又因为，所以 =. 综上， 例7、已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3.()令()求数列()设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。解：（I）由已知得 又 是以为首项，以为公比的等比数列.（II）由（I）知， 将以上各式相加得： （III）解法一：存在，使数列是等差数列. 数列是等差数列的充要条件是、是常数即 又当且仅当，即时，数列为等差数列.解法二：存在，使数列是等差数列. 由（I）、（II）知， ； 当且仅当时，数列是等差数列.例8、已知数列满足并且为非零参数，（I）若、成等比数列，求参数的值；（II）设
9、，常数且证明解：本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前项和公式、等差数列前项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。（I）解：由已知且 若、成等比数列，则即而解得（II）证明：设由已知，数列是以为首项，为公比的等比数列，故 则因此，对任意当且时，所以例9、设数列、满足：，（n=1,2,3,），证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,）证明：必要性，设是an公差为d1的等差数列，则bn+1bn=(an+1an+3) (anan+2)= (an+1an) (an+3an+2)= d1 d1=0 所以bnbn+1 ( n=1,2,3
10、,)成立。又cn+1cn=(an+1an)+2 (an+2an+1)+3 (an+3an+2)= d1+2 d1 +3d1 =6d1(常数)( n=1,2,3,)所以数列cn为等差数列。充分性： 设数列cn是公差为d2的等差数列，且bnbn+1 ( n=1,2,3,)cn=an+2an+1+3an+2 cn+2=an+2+2an+3+3an+4 -得cncn+2=（anan+2）+2 (an+1an+3)+3 (an+2an+4)=bn+2bn+1+3bn+2cncn+2=( cncn+1)+( cn+1cn+2)= 2 d2 bn+2bn+1+3bn+2=2 d2 从而有bn+1+2bn+2
11、+3bn+3=2 d2 -得（bn+1bn）+2 (bn+2bn+1)+3 (bn+3bn+2)=0 bn+1bn0, bn+2bn+10 , bn+3bn+20,由得bn+1bn=0 ( n=1,2,3,)，由此不妨设bn=d3 ( n=1,2,3,)则anan+2= d3(常数).由此cn=an+2an+1+3an+2= cn=4an+2an+13d3 ；从而cn+1=4an+1+2an+25d3 ，两式相减得cn+1cn=2( an+1an) 2d3；因此(常数) ( n=1,2,3,) ；所以数列an公差等差数列。【解后反思】理解公差d的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式.利用递推关系
12、是解决数列的重要方法,要求考生熟练掌握等差数列的定义、通项公式及其由来.同步练习（一） 选择题 1、已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0logmab1 B、1m8 D、0m82、设a0，b0，a，x1，x2，b成等差数列，a，y1，y2，b成等比数列，则x1+x2与y1+y2的大小关系是A、x1+x2y1+y2 B、x1+x2y1+y2C、x1+x2y1+y21、 已知Sn是an的前n项和，Sn=Pn（PR，nN+），那么数列anA、 是等比数列 B、当P0时是等比数列C、 当P0，P1时是等比数列 D、不是等比数列2、 an是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，则a3+a5等于A、5 B、10 C、15 D、2
