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1、无理方程解法根号下含有未知数的方程，叫做无理方程1平方法解无理方程例1解方程 分析：移项、平方，转化为有理方程求解 解：移项得：两边平方得：移项，合并同类项得：解得：或检验：把代入原方程，左边右边，所以是增根 把代入原方程，左边 = 右边，所以是原方程的根所以，原方程的解是说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；两边同时平方，得到一个整式方程；解整式方程；验根例2解方程 分析：直接平方将很困难可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用例4的方法解方程 解：原方程可化为： 两边平方得：整理得：两
2、边平方得：整理得：，解得：或检验：把代入原方程，左边=右边，所以是原方程的根 把代入原方程，左边右边，所以是增根所以，原方程的解是例3解方程 解 移项得 两边平方后整理得 再两边平方后整理得x23x-280，所以 x1=4，x2=-7经检验知，x2=-7为增根，所以原方程的根为x=4说明：含未知数的二次根式恰有两个或三个的无理方程的一般步骤：移项，使方程的一边只保留一个含未知数的二次根式；两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；一下步骤同例4的说明2换元法解无理方程例4解方程 分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，
3、可以发现：因此，可以设，这样就可将原方程先转化为关于的一元二次方程处理 解：设，则 原方程可化为：，即，解得：或(1)当时，；(2)当时，因为，所以方程无解检验：把分别代入原方程，都适合所以，原方程的解是说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想 例5解方程分析与解 注意到(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)设 则u2-v2w2-t2， u+v=w+t因为u+v=w+t=0无解，所以得u-v=w-t 得u=w，即解得x=-2 经检验，x=-2是原方程的根例6解方程所以将两边平方、并利用得x2y22xy-8=0，
4、 即 (xy4)(xy-2)=0 xy=2 例7 解方程整理得y3-1=(1-y)2，即 (y-1)(y2+2)=0解得y=1，即x=-1经检验知，x=-1是原方程的根整理得y3-2y2+3y=0解得y=0，从而x=-13.用公式法解例8解方程方公式将方程的左端配方将原方程变形为所以 两边平方得3x2+x=9-6xx2， 两边平方得3x2+x=x26x9， 例9 解方程即所以移项得 例10 解方程解 观察到题中两个根号的平方差是13，即便得由，得 4.分式无理方程 例11解方程边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程根据合分比定理得两边平方得再用合分比定理得化简得x2=4a2解得x=2a经检验，x=2a是原方程的根
